微积分学示例

$\int \frac{\tan (\ln (x^{2}))}{4 x} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{\tan (\ln (x^{2}))}{4 x}$ 重写为 $\frac{\tan (2 \ln (x))}{4 x}$ 。

$\int \frac{\tan (2 \ln (x))}{4 x} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \frac{\tan (2 \ln (x))}{x} d x$

解题步骤 3

使 $u = 2 \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{2}{x} d x$ ，以便 $- d u = \frac{- 2}{x} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 2 \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $2 \ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

解题步骤 3.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 \frac{1}{x}$

解题步骤 3.1.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{2}{x}$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \tan (u) d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \tan (u) d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \tan (u) d u$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{8} \int \tan (u) d u$

解题步骤 6

$\tan (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| \sec (u) |)$ 。

$\frac{1}{8} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

解题步骤 7

化简。

$\frac{1}{8} \ln (| \sec (u) |) + C$

解题步骤 8

使用 $2 \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{8} \ln (| \sec (2 \ln (x)) |) + C$

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