微积分学示例

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ , $[0, 1]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{4}{x - 2}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2}$

区间计数法：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

解题步骤 6

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

解题步骤 7

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

解题步骤 8

使 $u = x - 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = x - 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 8.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 - 2$

解题步骤 8.3

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$u_{lower} = - 2$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - 2$

解题步骤 8.5

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 8.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 9

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

解题步骤 10

计算 $\ln (| u |)$ 在 $- 1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

解题步骤 11

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

解题步骤 12.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 2$ 和 $0$ 之间的距离为 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

解题步骤 13

化简分母。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

解题步骤 13.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

解题步骤 14

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 14.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 14.1.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

解题步骤 14.1.2

重写表达式。

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

解题步骤 14.2

将 $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 15

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ 。

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

解题步骤 16

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

解题步骤 17

一的任意次幂都为一。

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

解题步骤 18

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

解题步骤 19

微积分学 示例

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