微积分学示例

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

解题步骤 1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1

重新排序项。

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

解题步骤 1.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ 并且它们的和为 $b = - 4$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

解题步骤 1.2.2

把 $- 4$ 重写为 $2$ 加 $- 6$

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

解题步骤 1.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

解题步骤 1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

解题步骤 1.4

通过因式分解出最大公因数 $- x + 2$ 来因式分解多项式。

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

解题步骤 2

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

解题步骤 3

配方。

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解题步骤 3.1

化简表达式。

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解题步骤 3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(- x + 2) (x + 6)$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

运用分配律。

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

解题步骤 3.1.1.2

运用分配律。

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

解题步骤 3.1.1.3

运用分配律。

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

解题步骤 3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

解题步骤 3.1.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 6 x$ 和 $2 x$ 相加。

$- x^{2} - 4 x + 12$

解题步骤 3.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

解题步骤 3.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 3.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 3.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.2.1.2

移动 $\frac{- 2}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot - 2$

解题步骤 3.4.2.2

将 $- 1 \cdot - 2$ 重写为 $- - 2$ 。

$d = - - 2$

解题步骤 3.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$d = 2$

解题步骤 3.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 3.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去 ${(- 4)}^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.2.1.1.2

对 $- 1 (4)$ 运用乘积法则。

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.2.1.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.2.1.1.4

将 $4^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.2.1.1.5

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.2.1.1.6

移动 $\frac{4}{- 1}$ 中分母的负号。

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

解题步骤 3.5.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 12 - - 4$

解题步骤 3.5.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$e = 12 + 4$

解题步骤 3.5.2.2

将 $12$ 和 $4$ 相加。

$e = 16$

解题步骤 3.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x + 2)}^{2} + 16$ 。

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

解题步骤 4

使 $u = x + 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = x + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

解题步骤 5.2

将 $- u^{2}$ 和 $4^{2}$ 重新排序。

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

解题步骤 6

$\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (\frac{u}{4})$

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

解题步骤 7

将 $8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ 重写为 $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ 。

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

解题步骤 8

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

解题步骤 9.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

解题步骤 9.3.2

约去公因数。

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

解题步骤 9.3.3

重写表达式。

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

解题步骤 10

重新排序项。

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$

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