微积分学示例

$\frac{4 - x^{2}}{3 - \sqrt{x^{2} + 5}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 5}$ 重写成 ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 - x^{2}}{3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 - x^{2}$ 且 $g (x) = 3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}] - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [- x^{2}] - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- (2 x)) - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) - (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) - (4 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ 相加。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) - (4 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.11

乘。

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解题步骤 3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + 1 (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.11.2

将 $4 - x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 5$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 5$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用 $x^{2} + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 10

根据加法法则， $x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 12

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 13

化简项。

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解题步骤 13.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 13.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} x}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 13.3

组合 $x$ 和 $\frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{x \cdot 2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 13.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{2 \cdot x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 13.5

约去公因数。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 13.6

重写表达式。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$\frac{3 (- 2 x) - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2

化简分子。

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解题步骤 14.2.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6 x - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 6 x - 1 \cdot - 2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + (4 - x^{2}) \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 6 x + 2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + (4 - x^{2}) \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.4

将 $4 - x^{2}$ 乘以 $\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 6 x + 2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(4 - x^{2}) x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.5

化简分子。

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解题步骤 14.2.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- 6 x + 2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2^{2} - x^{2}) x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$\frac{- 6 x + 2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.6

要将 $- 6 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x - 6 x \cdot \frac{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.7

组合 $- 6 x$ 和 $\frac{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.9

将 $- 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $x (x + 2) (- x + 2)$ 重新排序。

$\frac{2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (x + 2) (- x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.10

要将 $2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (x + 2) (- x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.11

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + x (x + 2) (- x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.12

重新排序项。

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + x (- x + 2) (x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13

以因式分解的形式重写 $\frac{2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + x (- x + 2) (x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 14.2.13.1

从 $2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + x (- x + 2) (x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 14.2.13.1.1

从 $2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) + x (- x + 2) (x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.1.2

从 $x (- x + 2) (x + 2)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) + x ((- x + 2) (x + 2)) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.1.3

从 $- 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) + x ((- x + 2) (x + 2)) + x (- 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.1.4

从 $x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) + x ((- x + 2) (x + 2))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 2) (x + 2)) + x (- 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.1.5

从 $x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 2) (x + 2)) + x (- 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.2

通过指数相加将 ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 14.2.13.2.1

移动 ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x (2 ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{2}} + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{1} + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.3

化简 $2 {(x^{2} + 5)}^{1}$ 。

$\frac{\frac{x (2 (x^{2} + 5) + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.4

运用分配律。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 2 \cdot 5 + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.5

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.6

使用 FOIL 方法展开 $(- x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 14.2.13.6.1

运用分配律。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x (x + 2) + 2 (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.6.2

运用分配律。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x \cdot x - x \cdot 2 + 2 (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.6.3

运用分配律。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x \cdot x - x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 14.2.13.7.1

化简每一项。

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解题步骤 14.2.13.7.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 14.2.13.7.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.7.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x^{2} - x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.7.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot 2 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.7.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x^{2} - 2 x + 2 x + 4 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.7.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x^{2} + 0 + 4 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.7.3

将 $- x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x^{2} + 4 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.8

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{x (x^{2} + 10 + 4 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.2.13.9

将 $10$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\frac{x (x^{2} + 14 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.3

合并项。

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解题步骤 14.3.1

将 $\frac{\frac{x (x^{2} + 14 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{x (x^{2} + 14 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.3.2

将 $\frac{x (x^{2} + 14 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 。

$\frac{x (x^{2} + 14 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

微积分学 示例

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