微积分学示例

$\int \frac{2 x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ 。然后使 $d u_{1} = 15 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{15} d u_{1} = x^{2} d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $5 x^{3} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 1]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $5 x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$15 x^{2} + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $15 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$15 x^{2}$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{15} d u_{1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}}$ 乘以 $\frac{1}{15}$ 。

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{(3 - e^{u_{1}}) \cdot 15} d u_{1}$

解题步骤 3.2

将 $15$ 移到 $3 - e^{u_{1}}$ 的左侧。

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{15 (3 - e^{u_{1}})} d u_{1}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{15}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{15}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1})$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{15}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1}$

解题步骤 6

使 $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ 。然后使 $d u_{2} = - e^{u_{1}} d u_{1}$ ，以便 $- \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $3 - e^{u_{1}}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [3 - e^{u_{1}}]$

解题步骤 6.1.2

求微分。

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解题步骤 6.1.2.1

根据加法法则， $3 - e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

解题步骤 6.1.2.2

因为 $3$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $3$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

解题步骤 6.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $- \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$ 。

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

解题步骤 6.1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 - e^{u_{1}}$

解题步骤 6.1.4

从 $0$ 中减去 $e^{u_{1}}$ 。

$- e^{u_{1}}$

解题步骤 6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{2}{15} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{15} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{15} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{2}{15} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{2}{15} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{2}{15}$ 和 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \frac{2 \ln (| u_{2} |)}{15} + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $3 - e^{u_{1}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{u_{1}} |)}{15} + C$

解题步骤 11.2

使用 $5 x^{3} + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |)}{15} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$- \frac{2}{15} \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |) + C$

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