微积分学示例

$f (x) = x^{2} e^{x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{2} e^{x} d x$

解题步骤 3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x)$

解题步骤 5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x$

解题步骤 6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

解题步骤 7

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

解题步骤 8

将 $x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$ 重写为 $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ 。

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = x^{2} e^{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$

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