微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x - 8}{2 x^{2} - 5 x + 1}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x - 8}{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - 5 x + 1}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} + lim_{x \to - 1} 9 x^{2} - lim_{x \to - 1} 3 x - lim_{x \to - 1} 8}{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - 5 x + 1}$

解题步骤 3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 9 x^{2} - lim_{x \to - 1} 3 x - lim_{x \to - 1} 8}{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - 5 x + 1}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 9 x^{2} - lim_{x \to - 1} 3 x - lim_{x \to - 1} 8}{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - 5 x + 1}$

解题步骤 5

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 9 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 3 x - lim_{x \to - 1} 8}{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - 5 x + 1}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 3 x - lim_{x \to - 1} 8}{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - 5 x + 1}$

解题步骤 7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 8}{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - 5 x + 1}$

解题步骤 8

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - 5 x + 1}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - lim_{x \to - 1} 5 x + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 10

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 8}{2 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 5 x + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 8}{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 5 x + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 12

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 8}{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 13

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 8}{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 14

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 {(- 1)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 8}{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 14.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 8}{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 14.3

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 8}{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 14.4

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 8}{2 {(- 1)}^{2} - 5 lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 14.5

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 8}{2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简分子。

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解题步骤 15.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 8}{2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 15.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4 + 9 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 8}{2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 15.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 4 + 9 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 8}{2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 15.1.4

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 4 + 9 - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 8}{2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 15.1.5

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4 + 9 + 3 - 1 \cdot 8}{2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 15.1.6

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 4 + 9 + 3 - 8}{2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 15.1.7

将 $- 4$ 和 $9$ 相加。

$\frac{5 + 3 - 8}{2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 15.1.8

将 $5$ 和 $3$ 相加。

$\frac{8 - 8}{2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 15.1.9

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$\frac{0}{2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 15.2

化简分母。

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解题步骤 15.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{2 \cdot 1 - 5 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 15.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{2 - 5 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 15.2.3

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0}{2 + 5 + 1}$

解题步骤 15.2.4

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$\frac{0}{7 + 1}$

解题步骤 15.2.5

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{8}$

解题步骤 15.3

用 $0$ 除以 $8$ 。

$0$

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