微积分学示例

$\ln ({(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 ${(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \frac{x + 1}{2 x - 1}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (2 \frac{x + 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

解题步骤 3

组合 $2$ 和 $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5.4.2

将 $2 x - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5.5

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5.10

合并分数。

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解题步骤 5.10.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 5.10.3

将 $\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1}$ 乘以 $\frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 6

通过指数相加将 $2 x - 1$ 乘以 ${(2 x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 x - 1$ 乘以 ${(2 x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{1 + 2}}$

解题步骤 6.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

对 $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.4

合并项。

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解题步骤 7.4.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ 。

$1 \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.4.2

将 $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.4.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (2 x - 1 - 2 x - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.4.5

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.4.6

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (- 1 - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.4.7

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) \cdot - 3}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.4.8

将 $- 3$ 移到 $2 x + 2$ 的左侧。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{- 3 \cdot (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.4.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{3 (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

解题步骤 7.4.10

将 $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{3 (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$ 。

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.4.11

将 $3$ 移到 ${(2 x - 1)}^{2}$ 的左侧。

$- \frac{3 \cdot {(2 x - 1)}^{2} (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.4.12

约去 ${(2 x - 1)}^{2}$ 和 ${(2 x - 1)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.12.1

从 $3 {(2 x - 1)}^{2} (2 x + 2)$ 中分解出因数 ${(2 x - 1)}^{2}$ 。

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.4.12.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.12.2.1

从 ${(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ 中分解出因数 ${(2 x - 1)}^{2}$ 。

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{2} (2 x - 1))}$

解题步骤 7.4.12.2.2

约去公因数。

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{2} (2 x - 1))}$

解题步骤 7.4.12.2.3

重写表达式。

$- \frac{3 (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 7.5

化简分子。

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解题步骤 7.5.1

从 $2 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (2 (x) + 2)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 7.5.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (2 (x) + 2 (1))}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 7.5.1.3

从 $2 (x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (2 (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

$- \frac{3 \cdot 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 7.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{6 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 7.6

约去 $x + 1$ 和 ${(x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.1

从 $6 (x + 1)$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 7.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.6.2.1

从 ${(x + 1)}^{2} (2 x - 1)$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 1))}$

解题步骤 7.6.2.2

约去公因数。

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 1))}$

解题步骤 7.6.2.3

重写表达式。

$- \frac{6}{(x + 1) (2 x - 1)}$

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