微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} {\sinh (3 x)}^{x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${\sinh (3 x)}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({\sinh (3 x)}^{x})}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sinh (3 x)}^{x})}$

解题步骤 1.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({\sinh (3 x)}^{x})$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sinh (3 x))}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sinh (3 x))}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sinh (3 x))}$

解题步骤 2.3

将极限移入对数中。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \ln (lim_{x \to 0^{+}} \sinh (3 x))}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0^{+}} \sinh (3 x))}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $\sinh (3 x)$ 的极限值。

$e^{0 \cdot \ln (\sinh (3 \cdot 0))}$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$e^{0 \cdot \ln (\sinh (0))}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $0 \cdot \ln (\sinh (0))$ 。

$e^{\ln (\sinh^{0} (0))}$

解题步骤 4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$\sinh^{0} (0)$

解题步骤 4.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

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