微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 6$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{4} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 0$

解题步骤 1.4

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2})$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (2 x)$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$f''' (x) = 24 x$

解题步骤 4

$f (x)$ 对 $x$ 的三阶导数是 $24 x$ 。

$24 x$

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