微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x - 2}{x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 1}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 0} x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 1}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 1}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 1}$

解题步骤 4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 1}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 6 x^{2} - lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 6 x^{2} - lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 7

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 6 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 9

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 0} x + 1}$

解题步骤 11

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 0} x + 1}$

解题步骤 11.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2} + 0 - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 0} x + 1}$

解题步骤 11.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2} + 0 - 1 \cdot 2}{0^{3} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 0} x + 1}$

解题步骤 11.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2} + 0 - 1 \cdot 2}{0^{3} - 6 \cdot 0^{2} - 7 lim_{x \to 0} x + 1}$

解题步骤 11.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2} + 0 - 1 \cdot 2}{0^{3} - 6 \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2}{0^{3} - 6 \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 12.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 + 0 - 2}{0^{3} - 6 \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 12.1.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 - 2}{0^{3} - 6 \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 12.1.4

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 2}{0^{3} - 6 \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 12.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{- 2}{0 - 6 \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 12.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{- 2}{0 - 6 \cdot 0 - 7 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 12.2.3

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 2}{0 + 0 - 7 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 12.2.4

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 2}{0 + 0 + 0 + 1}$

解题步骤 12.2.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2}{0 + 0 + 1}$

解题步骤 12.2.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2}{0 + 1}$

解题步骤 12.2.7

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2}{1}$

解题步骤 12.3

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- 2$

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