微积分学示例

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

解题步骤 1

分解总和使 $k$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

解题步骤 2

计算 $\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ 。

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解题步骤 2.1

从总和中因式分解出 $2$ 。

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

解题步骤 2.2

展开 $k$ 每个取值的序列。

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

解题步骤 2.3

化简展开式。

$12$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $k$ 每个取值的序列。

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.6

将 $1$ 乘以 $4$ 。

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.7

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.9

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.10

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.11

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.12

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.13

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- 4 + 1 \cdot 8$

解题步骤 3.2.14

将 $1$ 乘以 $8$ 。

$- 4 + 8$

解题步骤 3.2.15

将 $- 4$ 和 $8$ 相加。

$4$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$12 - 4$

解题步骤 5

从 $12$ 中减去 $4$ 。

$8$

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