微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - 15 e^{- 5 x}}{\frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

解题步骤 1.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

解题步骤 1.4

因为项 $15$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 - 15 lim_{x \to \infty} e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

解题步骤 2

因为指数 $- 5 x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- 5 x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \cos (\frac{5}{x})}$

解题步骤 5.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})}$

解题步骤 5.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

约去 $2 - 15 \cdot 0$ 和 $0 + 4 \cos (5 \cdot 0)$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{- 1 (- 2) - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.2

从 $- 15 \cdot 0$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.3

从 $- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- 2 + 15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.4

重新排序项。

$\frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.5

从 $- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.6

约去公因数。

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解题步骤 7.1.6.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.6.2

从 $4 \cos (5 \cdot 0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))}$

解题步骤 7.1.6.3

从 $2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

解题步骤 7.1.6.4

约去公因数。

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

解题步骤 7.1.6.5

重写表达式。

$\frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 15)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 7.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.1

将 $0$ 乘以 $15$ 。

$\frac{- 1 (- 1 + 0)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 7.2.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 7.3

化简分母。

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解题步骤 7.3.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (0)}$

解题步骤 7.3.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2}$

解题步骤 7.3.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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