微积分学示例

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 1

该导数无法用除法定则求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$ 是 $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ 的不定积分，因此，根据定义， $\frac{d}{d x} [\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x]$ 为 $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用勾股恒等式。

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

解题步骤 3.2

使用勾股恒等式。

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.3

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 3.4.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 3.5

将分子乘以分母的倒数。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$\frac{1}{\cos (x)} \cos^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 3.7.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 3.7.1.3

重写表达式。

$\cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 3.7.2

组合 $\frac{1}{\sin (x)}$ 和 $\cos^{2} (x)$ 。

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 3.7.3

乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.7.3.1

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\cos^{2} (x)$ 。

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.7.3.2

通过指数相加将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.7.3.2.1

将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.7.3.2.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.7.3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin (x)}$

解题步骤 3.7.3.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.8

化简每一项。

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解题步骤 3.8.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.8.2

分离分数。

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.8.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.8.4

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.8.5

从 $\cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.8.6

分离分数。

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.8.7

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cot (x)$

解题步骤 3.8.8

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \cos^{2} (x) \cot (x)$

微积分学 示例

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