微积分学示例

$\int \frac{1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} d x$

解题步骤 1

把 $8$ 重写为 $9$ 加 $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 + 2 x - x^{2}}} d x$

解题步骤 2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}} d x$

解题步骤 2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

解题步骤 2.3

重写多项式。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

解题步骤 2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x$

解题步骤 3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}} d x$

解题步骤 4

使 $u = 1 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 1 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 4.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

解题步骤 6

$\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (\frac{u}{3})$

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$

解题步骤 7

将 $- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$ 重写为 $- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ 。

$- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

解题步骤 8

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \arcsin (\frac{1}{3} (1 - x)) + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$- \arcsin (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- x)) + C$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \arcsin (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- x)) + C$

解题步骤 9.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C$

解题步骤 10

重新排序项。

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} x) + C$

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