微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{n} {(3 i - 1)}^{2}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

将 ${(3 i - 1)}^{2}$ 重写为 $(3 i - 1) (3 i - 1)$ 。

$(3 i - 1) (3 i - 1)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 i - 1) (3 i - 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$3 i (3 i - 1) - 1 (3 i - 1)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i - 1)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \cdot 3 i \cdot i + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.2

通过指数相加将 $i$ 乘以 $i$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

移动 $i$ 。

$3 \cdot 3 (i \cdot i) + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $i$ 乘以 $i$ 。

$3 \cdot 3 i^{2} + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 i^{2} + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$9 i^{2} - 3 i - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$9 i^{2} - 3 i - 3 i - 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$9 i^{2} - 3 i - 3 i + 1$

解题步骤 1.3.2

从 $- 3 i$ 中减去 $3 i$ 。

$9 i^{2} - 6 i + 1$

解题步骤 1.4

重写该总和。

$\sum_{i = 1}^{n} 9 i^{2} - 6 i + 1$

解题步骤 2

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 3

将值代入公式中。

$(9 i^{2} - 6 i + 1) (n)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$(9 \cdot - 1 - 6 i + 1) n$

解题步骤 4.1.2

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 9 - 6 i + 1) n$

解题步骤 4.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 9$ 和 $1$ 相加。

$(- 8 - 6 i) n$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$- 8 n - 6 i n$

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