微积分学示例

$(x^{2} - 3) e^{- x}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 3$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$(x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

解题步骤 2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

解题步骤 3.3.2

将 $- 1$ 移到 $(x^{2} - 3) e^{- x}$ 的左侧。

$- 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1 (x^{2} - 3)$ 重写为 $- (x^{2} - 3)$ 。

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

解题步骤 3.7

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(- x^{2} - - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$- x^{2} e^{- x} - - 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

解题步骤 4.5

将 $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

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