微积分学示例

$\frac{d}{d x} (arcsec (\sin (x)))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arcsec (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

$arcsec (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ 。

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \cos (x)$

解题步骤 3

组合 $\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x) - 1} \sin (x)}$

解题步骤 4.2

将 $\sin^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

解题步骤 4.4

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

解题步骤 4.5

从 $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

解题步骤 4.6

将 $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \sin^{2} (x))$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

解题步骤 4.7

使用勾股恒等式。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- \cos^{2} (x)} \sin (x)}$

解题步骤 4.8

化简分母。

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解题步骤 4.8.1

将 $- 1$ 和 $\cos^{2} (x)$ 重新排序。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot - 1} \sin (x)}$

解题步骤 4.8.2

从根式下提出各项。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) \sqrt{- 1} \sin (x)}$

解题步骤 4.8.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

解题步骤 4.9

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

解题步骤 4.9.2

重写表达式。

$\frac{1}{i \sin (x)}$

解题步骤 4.10

分离分数。

$\frac{1}{i} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 4.11

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{1}{i} \csc (x)$

解题步骤 4.12

对 $\frac{1}{i}$ 的分子和分母乘以 $i$ 的共轭以使分母变为实数。

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \csc (x)$

解题步骤 4.13

乘。

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解题步骤 4.13.1

合并。

$\frac{1 i}{i i} \csc (x)$

解题步骤 4.13.2

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$\frac{i}{i i} \csc (x)$

解题步骤 4.13.3

化简分母。

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解题步骤 4.13.3.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{i}{i^{1} i} \csc (x)$

解题步骤 4.13.3.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{i}{i^{1} i^{1}} \csc (x)$

解题步骤 4.13.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{i}{i^{1 + 1}} \csc (x)$

解题步骤 4.13.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{i}{i^{2}} \csc (x)$

解题步骤 4.13.3.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{i}{- 1} \csc (x)$

解题步骤 4.14

移动 $\frac{i}{- 1}$ 中分母的负号。

$- 1 \cdot i \csc (x)$

解题步骤 4.15

将 $- 1 \cdot i$ 重写为 $- i$ 。

$- i \csc (x)$

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