微积分学示例

$\int \frac{5 x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \frac{x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

解题步骤 2

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $4 x + 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 2.1.1.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x^{2}}$

解题步骤 2.1.1.1.2

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x (x)}$

解题步骤 2.1.1.1.3

从 $4 x (1) + 4 x (x)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

解题步骤 2.1.1.2

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{x}{4 x (1 + x)}$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

解题步骤 2.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{4 (1 + x)}$

解题步骤 2.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{1 + x}$

解题步骤 2.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $4 (1 + x)$ 。

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

解题步骤 2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

解题步骤 2.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

解题步骤 2.1.5

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

解题步骤 2.1.5.2

重写表达式。

$1 = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

解题步骤 2.1.6

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.6.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (4 (1 + x))}{1 + x}$

解题步骤 2.1.6.2

用 $(A) \cdot (4)$ 除以 $1$ 。

$1 = (A) \cdot (4)$

解题步骤 2.1.7

将 $4$ 移到 $A$ 的左侧。

$1 = 4 A$

解题步骤 2.2

求解方程组。

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解题步骤 2.2.1

将方程重写为 $4 A = 1$ 。

$4 A = 1$

解题步骤 2.2.2

将 $4 A = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $4 A = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{1 + x}$ with the values found for and $A$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{1 + x}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + x}$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{1 + x}$ 。

$5 \int \frac{1}{4 (1 + x)} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x)$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x$

解题步骤 5

使 $u = 1 + x$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 1 + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $1 + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 5.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{5}{4} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 7

化简。

$\frac{5}{4} \ln (| u |) + C$

解题步骤 8

使用 $1 + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5}{4} \ln (| 1 + x |) + C$

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