微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - 0$

解题步骤 1.3

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 2

将分数分解成多个分数。

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

解题步骤 5

计算 $\ln (| u |)$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 1 |})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$- \ln (\frac{0}{| 1 |})$

解题步骤 7.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- \ln (\frac{0}{1})$

解题步骤 7.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \ln (0)$

解题步骤 7.4

零的自然对数无定义。

无定义

$- \ln (0)$

解题步骤 8

零的自然对数无定义。

无定义

微积分学 示例

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