微积分学示例

$f (x) = 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2} d x$

解题步骤 3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\int 8 x^{4} + \frac{1}{2 x^{2}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 8 x^{4} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int x^{4} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 8.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 8.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{8 x^{5}}{5} + \frac{1}{2} (- x^{- 1}) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- 1}$ 。

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{x^{- 1}}{2} + C$

解题步骤 10.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 1}$ 移动到分母。

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{1}{2 x} + C$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2 x} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2 x} + C$

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