微积分学示例

$\frac{d v}{d t} = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ , $v (2) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d v = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d v = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$v + C_{1} = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

解题步骤 2.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}} d t$

解题步骤 2.3.3

$\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}}$ 对 $t$ 的积分为 $arcsec (| t |)$

$v + C_{1} = 3 (arcsec (| t |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简。

$v + C_{1} = 3 arcsec (| t |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$v = 3 arcsec (| t |) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $2$ 代入 $t$ ，将 $0$ 代入 $v$ ，在 $v = 3 arcsec (| t |) + K$ 中求 $K$ 的值。

$0 = 3 arcsec (| 2 |) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $3 arcsec (| 2 |) + K = 0$ 。

$3 arcsec (| 2 |) + K = 0$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$3 arcsec (2) + K = 0$

解题步骤 4.2.1.2

$arcsec (2)$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

解题步骤 4.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.3.1

约去公因数。

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

解题步骤 4.2.1.3.2

重写表达式。

$π + K = 0$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $π$ 。

$K = - π$

解题步骤 5

代入 $- π$ 替换 $v = 3 arcsec (| t |) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- π$ 替换 $K$ 。

$v = 3 arcsec (| t |) - π$

微积分学 示例

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