微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 2}$ ; with $y (0) = 2$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y + 2$ 。

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

解题步骤 1.2

约去 $y + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(y + 2) d y = \sin (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y + 2 d y = \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $2$ 代入 $y$ ，在 $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ 中求 $K$ 的值。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 = - \cos (0) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ 。

$- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

化简 $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1.1.1

从 $2^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

解题步骤 4.3.1.1.1.2

约去公因数。

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

解题步骤 4.3.1.1.1.3

重写表达式。

$- 1 + K = 2 + 2 \cdot 2$

解题步骤 4.3.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 1 + K = 2 + 4$

解题步骤 4.3.1.2

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$- 1 + K = 6$

解题步骤 4.4

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.4.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$K = 6 + 1$

解题步骤 4.4.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$K = 7$

解题步骤 5

代入 $7$ 替换 $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $7$ 替换 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

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