微积分学示例

$2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ , $y (0) = 6$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

解题步骤 1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

解题步骤 1.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $4 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

解题步骤 1.3.2.4

用 $2 y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{6 e^{- x}}{2}$

解题步骤 1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $6 e^{- x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2}$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 (1)}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{3 e^{- x}}{1}$

解题步骤 1.4.2.4

用 $3 e^{- x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 3 e^{- x}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 2$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int 2 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{2 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{2 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (3 e^{- x})$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (3 e^{- x})$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{2 x} e^{- x}$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $e^{2 x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $e^{- x}$ 。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 (e^{- x} e^{2 x})$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{- x + 2 x}$

解题步骤 3.4.3

将 $- x$ 和 $2 x$ 相加。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$

解题步骤 3.5

将 $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 3 e^{x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 3 e^{x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 3 e^{x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{2 x} y = \int 3 e^{x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = 3 \int e^{x} d x$

解题步骤 7.2

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$e^{2 x} y = 3 (e^{x} + C)$

解题步骤 7.3

化简。

$e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$

解题步骤 8

将 $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ 中的每一项除以 $e^{2 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1

从 $3 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{3 e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2.4

用 $3 e^{- x}$ 除以 $1$ 。

$y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 9

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $6$ 代入 $y$ ，在 $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ 中求 $C$ 的值。

$6 = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

解题步骤 10

求解 $C$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$ 。

$3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

解题步骤 10.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

解题步骤 10.2.3

化简分母。

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解题步骤 10.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$3 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

解题步骤 10.2.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$3 + \frac{C}{1} = 6$

解题步骤 10.2.4

用 $C$ 除以 $1$ 。

$3 + C = 6$

解题步骤 10.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.3.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$C = 6 - 3$

解题步骤 10.3.2

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$C = 3$

解题步骤 11

代入 $3$ 替换 $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 11.1

代入 $3$ 替换 $C$ 。

$y = 3 e^{- x} + \frac{3}{e^{2 x}}$

微积分学 示例

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