微积分学示例

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (| x |)$ ; con $y (1) = 10$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $(x + 1) y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = y$ 。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

解题步骤 1.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

解题步骤 1.7

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

解题步骤 1.8

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

解题步骤 1.9

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (| x |)$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (| x |) d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$(x + 1) y = \int \ln (| x |) d x$

解题步骤 5

对右边积分。

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解题步骤 5.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (| x |)$ ， $d v = 1$ 。

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 5.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 5.2.2.2

重写表达式。

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int d x$

解题步骤 5.3

应用常数不变法则。

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - (x + C)$

解题步骤 5.4

化简。

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$

解题步骤 6

将 $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ 中的每一项除以 $x + 1$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ 中的每一项都除以 $x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

解题步骤 6.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\ln (| x |) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

解题步骤 6.3.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\ln (| x |) x - x + C}{x + 1}$

解题步骤 6.3.4

将 $\ln (| x |) x - x + C$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$

解题步骤 7

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $10$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ 中求 $C$ 的值。

$10 = \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$

解题步骤 8

求解 $C$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ 。

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

解题步骤 8.2

等式两边同时乘以 $1 + 1$ 。

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

解题步骤 8.3

化简方程的两边。

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解题步骤 8.3.1

化简左边。

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解题步骤 8.3.1.1

化简 $(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$ 。

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解题步骤 8.3.1.1.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1.1.1

将 $\ln (| 1 |)$ 乘以 $1$ 。

$(1 + 1) \frac{\ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

解题步骤 8.3.1.1.1.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

解题步骤 8.3.1.1.1.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

解题步骤 8.3.1.1.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

解题步骤 8.3.1.1.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 8.3.1.1.2.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

解题步骤 8.3.1.1.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

解题步骤 8.3.1.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.2.3.1

约去公因数。

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

解题步骤 8.3.1.1.2.3.2

重写表达式。

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

解题步骤 8.3.2

化简右边。

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解题步骤 8.3.2.1

化简 $(1 + 1) \cdot 10$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

解题步骤 8.3.2.1.2

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$- 1 + C = 20$

解题步骤 8.4

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.4.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$C = 20 + 1$

解题步骤 8.4.2

将 $20$ 和 $1$ 相加。

$C = 21$

解题步骤 9

代入 $21$ 替换 $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 9.1

代入 $21$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + 21}{x + 1}$

微积分学 示例

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