微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} - 1}$

解题步骤 1

将 $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{y}{x})}^{2} - 1}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 6.1.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = V$ 和 $b = 1$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

解题步骤 6.1.1.2

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2

合并 $V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

解题步骤 6.1.1.2.2.2

将 $0$ 和 $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

解题步骤 6.1.3

约去 $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

解题步骤 6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

配方。

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解题步骤 6.2.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(V + 1) (V - 1)$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1.1

运用分配律。

$V (V - 1) + 1 (V - 1)$

解题步骤 6.2.2.1.1.1.2

运用分配律。

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1)$

解题步骤 6.2.2.1.1.1.3

运用分配律。

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.1

将 $V$ 乘以 $V$ 。

$V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $V$ 的左侧。

$V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.3

将 $- 1 V$ 重写为 $- V$ 。

$V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.4

将 $V$ 乘以 $1$ 。

$V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$V^{2} - V + V - 1$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.2

将 $- V$ 和 $V$ 相加。

$V^{2} + 0 - 1$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.3

将 $V^{2}$ 和 $0$ 相加。

$V^{2} - 1$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 1$

解题步骤 6.2.2.1.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 6.2.2.1.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 6.2.2.1.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.4.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.4.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{0}{1}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$d = 0$

解题步骤 6.2.2.1.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 6.2.2.1.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.2.1.5.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e = - 1 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.2.1.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = - 1 - \frac{0}{4}$

解题步骤 6.2.2.1.5.2.1.3

用 $0$ 除以 $4$ 。

$e = - 1 - 0$

解题步骤 6.2.2.1.5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e = - 1 + 0$

解题步骤 6.2.2.1.5.2.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$e = - 1$

解题步骤 6.2.2.1.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(V + 0)}^{2} - 1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(V + 0)}^{2} - 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

使 $u = V + 0$ 。然后使 $d u = d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.2.1

设 $u = V + 0$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

对 $V + 0$ 求导。

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

根据加法法则， $V + 0$ 对 $V$ 的导数是 $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ 。

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

解题步骤 6.2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

解题步骤 6.2.2.2.1.4

因为 $0$ 对于 $V$ 是常数，所以 $0$ 对 $V$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.2.2.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

使 $u = \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

化简项。

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解题步骤 6.2.2.4.1

化简 $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ 。

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解题步骤 6.2.2.4.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4.2

约去 $\tan (t)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.4.2.1

从 $\sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $\tan (t)$ 。

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4.2.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4.2.3

重写表达式。

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 6.2.2.6.1

使用 $arcsec (u)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6.2

使用 $V + 0$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| \sec (arcsec (V + 0)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7

化简。

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解题步骤 6.2.2.7.1

将 $V$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7.2

将 $V$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 6.3.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

解题步骤 6.3.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.3.1

正割函数和反正割函数互为反函数。

$\ln (\frac{| V + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

解题步骤 6.3.3.2

在平面中画出顶点为 $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $arcsec (V)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (arcsec (V))$ 为 $\sqrt{V^{2} - 1}$ 。

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1} |}{| x |}) = C$

解题步骤 6.3.3.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}} |}{| x |}) = C$

解题步骤 6.3.3.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = V$ 和 $b = 1$ 。

$\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$

解题步骤 6.3.4

要求解 $V$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |})} = e^{C}$

解题步骤 6.3.5

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}$

解题步骤 6.3.6

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.6.1

将方程重写为 $\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$ 。

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$

解题步骤 6.3.6.2

两边同时乘以 $| x |$ 。

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

解题步骤 6.3.6.3

化简左边。

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解题步骤 6.3.6.3.1

约去 $| x |$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.6.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

解题步骤 6.3.6.3.1.2

重写表达式。

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = e^{C} | x |$

解题步骤 6.3.6.4

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.6.4.1

将 $e^{C} | x |$ 中的因式重新排序。

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = | x | e^{C}$

解题步骤 6.3.6.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm | x | e^{C}$

解题步骤 6.3.6.4.3

求解 $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ 。

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解题步骤 6.3.6.4.3.1

将 $\pm | x | e^{C}$ 中的因式重新排序。

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x |$

解题步骤 6.3.6.4.3.2

从等式两边同时减去 $V$ 。

$\sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x | - V$

解题步骤 6.3.6.4.4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.6.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ 重写成 ${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.6.4.5.2.1

化简 ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.1

将 ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.1.2.1

约去公因数。

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.1.2.2

重写表达式。

${((V + 1) (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(V + 1) (V - 1)$ 。

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解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.2.1

运用分配律。

${(V (V - 1) + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.2.2

运用分配律。

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.2.3

运用分配律。

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.3.1.1

将 $V$ 乘以 $V$ 。

${(V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $V$ 的左侧。

${(V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.3.1.3

将 $- 1 V$ 重写为 $- V$ 。

${(V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.3.1.4

将 $V$ 乘以 $1$ 。

${(V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

${(V^{2} - V + V - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.3.2

将 $- V$ 和 $V$ 相加。

${(V^{2} + 0 - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.3.3

将 $V^{2}$ 和 $0$ 相加。

${(V^{2} - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.2.1.4

化简。

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.6.4.5.3.1

化简 ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.1

将 ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ 重写为 $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ 。

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ 。

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解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.2.1

运用分配律。

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x | - V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.2.2

运用分配律。

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.2.3

运用分配律。

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1

乘以 $(\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |)$ 。

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解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.1

对 $\pm e^{C} | x |$ 进行 $1$ 次方运算。

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.2

对 $\pm e^{C} | x |$ 进行 $1$ 次方运算。

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} {(\pm e^{C} | x |)}^{1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1 + 1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.2

Remove the plus-minus sign on $\pm e^{C} | x |$ because it is raised to an even power.

$V^{2} - 1 = {(e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.3

对 $e^{C} | x |$ 运用乘积法则。

$V^{2} - 1 = {(e^{C})}^{2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4

将 ${(e^{C})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V^{2} - 1 = e^{C \cdot 2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.2

将 $2$ 移到 $C$ 的左侧。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.5

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V \cdot V$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8

通过指数相加将 $V$ 乘以 $V$ 。

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解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.1

移动 $V$ 。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.2

将 $V$ 乘以 $V$ 。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + 1 V^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.1.10

将 $V^{2}$ 乘以 $1$ 。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.2

从 $- (\pm e^{C} | x |) V$ 中减去 $V (\pm e^{C} | x |)$ 。

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解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.2.1

移动 $\pm e^{C} | x |$ 。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 1 V (\pm e^{C} | x |) - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.3.2.2

从 $- 1 V (\pm e^{C} | x |)$ 中减去 $V (\pm e^{C} | x |)$ 。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.5.3.1.4

将 $e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$ 中的因式重新排序。

$V^{2} - 1 = x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

解题步骤 6.3.6.4.6

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.6.4.6.1

因为 $V$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} = V^{2} - 1$

解题步骤 6.3.6.4.6.2

将所有包含 $V$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.3.6.4.6.2.1

从等式两边同时减去 $V^{2}$ 。

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2} = - 1$

解题步骤 6.3.6.4.6.2.2

合并 $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.3.6.4.6.2.2.1

从 $V^{2}$ 中减去 $V^{2}$ 。

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + 0 = - 1$

解题步骤 6.3.6.4.6.2.2.2

将 $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |)$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1$

解题步骤 6.3.6.4.6.3

从等式两边同时减去 $x^{2} e^{2 C}$ 。

$- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

解题步骤 6.3.6.4.6.4

将 $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ 中的每一项除以 $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ 并化简。

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解题步骤 6.3.6.4.6.4.1

将 $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ 中的每一项都除以 $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ 。

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

解题步骤 6.3.6.4.6.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.6.4.6.4.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.6.4.6.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

解题步骤 6.3.6.4.6.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

解题步骤 6.3.6.4.6.4.2.2

约去 $\pm e^{C} | x |$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.6.4.6.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

解题步骤 6.3.6.4.6.4.2.2.2

用 $V$ 除以 $1$ 。

$V = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

解题步骤 6.3.6.4.6.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.6.4.6.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.6.4.6.4.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

解题步骤 6.3.6.4.6.4.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{x^{2} e^{2 C}}{2 (\pm e^{C} | x |)}$

解题步骤 6.4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.4.1

化简积分常数。

$V = \frac{1}{2 (\pm C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

解题步骤 6.4.2

用加号或减号合并常数。

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

解题步骤 6.4.3

用加号或减号合并常数。

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

化简 $(\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$ 。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去 $C$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1.1

约去公因数。

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.2

重写表达式。

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |}) x$

解题步骤 8.2.2.1.2

运用分配律。

$y = \frac{1}{2 C | x |} x + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

解题步骤 8.2.2.1.3

组合 $\frac{1}{2 C | x |}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

解题步骤 8.2.2.1.4

乘以 $\frac{x^{2}}{2 | x |} x$ 。

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解题步骤 8.2.2.1.4.1

组合 $\frac{x^{2}}{2 | x |}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x}{2 | x |}$

解题步骤 8.2.2.1.4.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.2.2.1.4.2.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.2.2.1.4.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 | x |}$

解题步骤 8.2.2.1.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2 + 1}}{2 | x |}$

解题步骤 8.2.2.1.4.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{3}}{2 | x |}$

微积分学 示例

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