微积分学示例

$(1 + x^{2}) d y - (1 + y^{2}) d x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $(1 + y^{2}) d x$ 。

$(1 + x^{2}) d y = (1 + y^{2}) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

约去 $1 + x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

解题步骤 3.2

约去 $1 + y^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

从 $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ 中分解出因数 $1 + y^{2}$ 。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C_{2}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将方程重写为 $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ 。

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

解题步骤 5.3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

解题步骤 5.4

将方程重写为 $\tan (\arctan (y) - K) = x$ 。

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

解题步骤 5.5

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $\arctan (y)$ 。

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

解题步骤 5.6

在等式两边都加上 $K$ 。

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

解题步骤 5.7

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

解题步骤 5.8

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

解题步骤 5.9

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $\arctan (y)$ 。

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

解题步骤 5.10

在等式两边都加上 $K$ 。

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

解题步骤 5.11

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

微积分学 示例

微积分学示例