微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2}$ 。

$y + C_{1} = \int {(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y + C_{1} = \int {(\frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

解题步骤 2.3.3

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y + C_{1} = \int {(\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

解题步骤 2.3.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

解题步骤 2.3.5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.1

约去公因数。

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

解题步骤 2.3.5.2

重写表达式。

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} d x$

解题步骤 2.3.6

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 2.3.7

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \cot (x) + K$

微积分学 示例