微积分学示例

$t \ln (t) \frac{d r}{d t} + r = 9 t e^{t}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d r}{d t} + M (t) r = Q (t)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $t \ln (t) \frac{d r}{d t} + r = 9 t e^{t}$ 中的每一项都除以 $t \ln (t)$ 。

$\frac{t \ln (t) \frac{d r}{d t}}{t \ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 t e^{t}}{t \ln (t)}$

解题步骤 1.2

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{t \ln (t) \frac{d r}{d t}}{t \ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 t e^{t}}{t \ln (t)}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{\ln (t) \frac{d r}{d t}}{\ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 t e^{t}}{t \ln (t)}$

解题步骤 1.3

约去 $\ln (t)$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{\ln (t) \frac{d r}{d t}}{\ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 t e^{t}}{t \ln (t)}$

解题步骤 1.3.2

用 $\frac{d r}{d t}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 t e^{t}}{t \ln (t)}$

解题步骤 1.4

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 t e^{t}}{t \ln (t)}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

解题步骤 1.5

从 $\frac{r}{t \ln (t)}$ 中分解出因数 $r$ 。

$\frac{d r}{d t} + r \frac{1}{t \ln (t)} = \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

解题步骤 1.6

将 $r$ 和 $\frac{1}{t \ln (t)}$ 重新排序。

$\frac{d r}{d t} + \frac{1}{t \ln (t)} r = \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = \frac{1}{t \ln (t)}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{t \ln (t)} d t}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{1}{t \ln (t)}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = \ln (t)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{t} d t$ ，以便 $t d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = \ln (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $\ln (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\ln (t)]$

解题步骤 2.2.1.1.2

$\ln (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\frac{1}{t}$ 。

$\frac{1}{t}$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$e^{\ln (| u |) + C}$

解题步骤 2.2.3

使用 $\ln (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\ln (| \ln (t) |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (\ln (t))}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$\ln (t)$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\ln (t)$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\ln (t)$ 。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) (\frac{1}{t \ln (t)} r) = \ln (t) \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{t \ln (t)}$ 和 $r$ 。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{t \ln (t)} = \ln (t) \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

解题步骤 3.2.2

约去 $\ln (t)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $t \ln (t)$ 中分解出因数 $\ln (t)$ 。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{\ln (t) t} = \ln (t) \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{\ln (t) t} = \ln (t) \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

解题步骤 3.2.2.3

重写表达式。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = \ln (t) \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

解题步骤 3.3

约去 $\ln (t)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = \ln (t) \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = 9 e^{t}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [\ln (t) r] = 9 e^{t}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [\ln (t) r] d t = \int 9 e^{t} d t$

解题步骤 6

对左边积分。

$\ln (t) r = \int 9 e^{t} d t$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$\ln (t) r = 9 \int e^{t} d t$

解题步骤 7.2

$e^{t}$ 对 $t$ 的积分为 $e^{t}$ 。

$\ln (t) r = 9 (e^{t} + C)$

解题步骤 7.3

化简。

$\ln (t) r = 9 e^{t} + C$

解题步骤 8

将 $\ln (t) r = 9 e^{t} + C$ 中的每一项除以 $\ln (t)$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $\ln (t) r = 9 e^{t} + C$ 中的每一项都除以 $\ln (t)$ 。

$\frac{\ln (t) r}{\ln (t)} = \frac{9 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $\ln (t)$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\ln (t) r}{\ln (t)} = \frac{9 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $r$ 除以 $1$ 。

$r = \frac{9 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$

微积分学 示例

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