微积分学示例

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y = x^{2} y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y$ 中的因式重新排序。

$\frac{d y}{d x} e^{x} + 3 y = x^{2} y$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $3 y$ 。

$\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$

解题步骤 1.1.3

将 $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

解题步骤 1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.3.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} - \frac{3 y}{e^{x}}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - 3 y}{e^{x}}$

解题步骤 1.2.2

从 $x^{2} y - 3 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - 3 y}{e^{x}}$

解题步骤 1.2.2.2

从 $- 3 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 3}{e^{x}}$

解题步骤 1.2.2.3

从 $y x^{2} + y \cdot - 3$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 3)}{e^{x}}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

解题步骤 1.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $e^{x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) {(e^{x})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2

将 ${(e^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{x \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- 1 \cdot x} d x$

解题步骤 2.3.1.2.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2} - 3$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

解题步骤 2.3.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

解题步骤 2.3.6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.8

化简。

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解题步骤 2.3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.8.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.9

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.9.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.9.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3.9.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

解题步骤 2.3.10

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

解题步骤 2.3.11

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

解题步骤 2.3.12

将 $(x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ 重写为 $- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.13

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.14

重新排序项。

$\ln (| y |) + C_{1} = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ 。

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

解题步骤 3.3.2

化简 $e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}$

解题步骤 3.3.2.1.2

运用分配律。

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C}$

解题步骤 3.3.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $3 e^{- x}$ 中减去 $2 e^{- x}$ 。

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ 中的因式重新排序。

$| y | = e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ 重写为 $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$

微积分学 示例

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