微积分学示例

$(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 x y - y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - y]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $2 x y - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 x y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $y$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d y} [- y]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x^{2} + x$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 1$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 x - 1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 x + 1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 x - 1 = 2 x + 1$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 x - 1 = 2 x + 1$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $2 x - 1$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{2 x - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $2 x + 1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $x^{2} + x$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $x^{2} + x$ 替换 $N$ 。

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{x^{2} + x}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{2 x - 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1}{x^{2} + x}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{0 - 1 - 1}{x^{2} + x}$

解题步骤 4.3.2.5

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 1 - 1}{x^{2} + x}$

解题步骤 4.3.2.6

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 2}{x^{2} + x}$

解题步骤 4.3.3

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{- 2}{x \cdot x + x}$

解题步骤 4.3.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2}{x \cdot x + x^{1}}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{- 2}{x \cdot x + x \cdot 1}$

解题步骤 4.3.3.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{- 2}{x (x + 1)}$

解题步骤 4.3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x (x + 1)}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x)}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x}$

解题步骤 5.4

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 5.4.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 5.4.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

解题步骤 5.4.1.2

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x + 1)$ 。

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 5.4.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 5.4.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 5.4.1.4

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 5.4.1.4.2

重写表达式。

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 5.4.1.5

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.5.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.5.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 5.4.1.5.1.2

用 $A (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 5.4.1.5.2

运用分配律。

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 5.4.1.5.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 5.4.1.5.4

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.5.4.1

约去公因数。

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 5.4.1.5.4.2

用 $(B) (x)$ 除以 $1$ 。

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

解题步骤 5.4.1.6

移动 $A$ 。

$1 = A x + B x + A$

解题步骤 5.4.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 5.4.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 5.4.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A$

解题步骤 5.4.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

解题步骤 5.4.3

求解方程组。

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解题步骤 5.4.3.1

将方程重写为 $A = 1$ 。

$A = 1$

$0 = A + B$

解题步骤 5.4.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 5.4.3.2.1

使用 $1$ 替换 $0 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

解题步骤 5.4.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.2.2.1

去掉圆括号。

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

解题步骤 5.4.3.3

在 $0 = 1 + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 5.4.3.3.1

将方程重写为 $1 + B = 0$ 。

$1 + B = 0$

$A = 1$

解题步骤 5.4.3.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

解题步骤 5.4.3.4

求解方程组。

$B = - 1 A = 1$

解题步骤 5.4.3.5

列出所有解。

$B = - 1, A = 1$

解题步骤 5.4.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

解题步骤 5.4.5

将负号移到分数的前面。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x}$

解题步骤 5.5

将单个积分拆分为多个积分。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

解题步骤 5.6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

解题步骤 5.7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

解题步骤 5.8

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.8.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.8.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 5.8.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.8.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u)}$

解题步骤 5.9

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C))}$

解题步骤 5.10

化简。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| u |})} + C$

解题步骤 5.11

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})} + C$

解题步骤 5.12

化简每一项。

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解题步骤 5.12.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2})} + C$

解题步骤 5.12.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2} + C$

解题步骤 5.12.3

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$μ (x, y) = {(\frac{| x + 1 |}{| x |})}^{2} + C$

解题步骤 5.12.4

对 $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ 运用乘积法则。

$μ (x, y) = \frac{{| x + 1 |}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5

化简分子。

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解题步骤 5.12.5.1

去掉 ${| x + 1 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5.2

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$μ (x, y) = \frac{(x + 1) (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 5.12.5.3.1

运用分配律。

$μ (x, y) = \frac{x (x + 1) + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5.3.2

运用分配律。

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5.3.3

运用分配律。

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.12.5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.12.5.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5.4.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5.4.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5.4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5.4.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5.5

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.12.5.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5.5.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 5.12.5.5.3

重写多项式。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.5.5.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

解题步骤 5.12.6

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} + C$

解题步骤 6

在 $(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 x y - y$ 乘以 $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ 。

$(2 x y - y) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $2 x y - y$ 乘以 $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{(2 x y - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

解题步骤 6.3

从 $2 x y - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 6.3.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{(y (2 x) - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

解题步骤 6.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{(y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

解题步骤 6.3.3

从 $y (2 x) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $x^{2} + x$ 乘以 $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $x^{2} + x$ 乘以 $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x^{2} + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6

化简分子。

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解题步骤 6.6.1

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x^{1}) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6.1.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6.2

通过指数相加将 $x + 1$ 乘以 ${(x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.6.2.1

移动 ${(x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6.2.2

将 ${(x + 1)}^{2}$ 乘以 $x + 1$ 。

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解题步骤 6.6.2.2.1

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1})}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{2 + 1}}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.7

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1

从 $x {(x + 1)}^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.7.2

约去公因数。

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解题步骤 6.7.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x \cdot x} d y = 0$

解题步骤 6.7.2.2

约去公因数。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x \cdot x} d y = 0$

解题步骤 6.7.2.3

重写表达式。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} y + C$

解题步骤 8.2

化简答案。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ 和 $y$ 。

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $\frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$ 重写为 $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$ 。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

解题步骤 8.2.3

化简。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

解题步骤 8.2.3.2

一的任意次幂都为一。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) y}{x} + C$

解题步骤 8.2.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) y}{x} + C$

解题步骤 8.2.3.4

一的任意次幂都为一。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}]$ 。

$y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ 且 $g (x) = x$ 。

$y \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.3

根据加法法则， $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$y \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$y \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.11

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.12

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.13

将 $3 x^{2} + 6 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.14

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.15

组合 $y$ 和 $\frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}}$ 。

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

运用分配律。

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.2

运用分配律。

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - x^{3} - (3 x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.3

运用分配律。

$\frac{y (x (3 x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4

合并项。

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解题步骤 11.5.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y (3 (x^{1} x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y (3 x^{1 + 2}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{y (3 x^{3}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.4

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot y x^{3} + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x^{1})) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{1 + 1}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{2}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.9

将 $6$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{3 y x^{3} + 6 \cdot y x^{2} + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.10

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + y (3 \cdot x) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.11

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 \cdot y x + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.12

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.13

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.14

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.15

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - 1 \cdot y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.16

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.17

移动 $y$ 。

$\frac{3 x^{3} y - x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.18

从 $3 x^{3} y$ 中减去 $x^{3} y$ 。

$\frac{2 x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.19

移动 $y$ 。

$\frac{2 x^{3} y + 6 x^{2} y - 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.20

从 $6 x^{2} y$ 中减去 $3 x^{2} y$ 。

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.21

移动 $y$ 。

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y - 3 x y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.22

从 $3 x y$ 中减去 $3 x y$ 。

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 0 - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4.23

将 $2 x^{3} y + 3 x^{2} y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.6

从 $2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 11.5.6.1

从 $2 x^{3} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.6.2

从 $3 x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.6.3

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.6.4

从 $y (2 x^{3}) + y (3 x^{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.6.5

从 $y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.7

要将 $\frac{d g}{d x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.9

化简分子。

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解题步骤 11.5.9.1

运用分配律。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.9.2

化简。

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解题步骤 11.5.9.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.9.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.9.2.3

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - 1 \cdot y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.9.3

化简每一项。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.10

将 $\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 12.1.2

化简 $y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 12.1.2.1

重写。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 12.1.2.2

化简项。

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解题步骤 12.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 12.1.2.2.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 12.1.2.2.2.1

运用分配律。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 12.1.2.2.2.2

重新排序。

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解题步骤 12.1.2.2.2.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 12.1.2.2.2.2.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - 1 \cdot y) {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 12.1.2.2.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 12.1.2.2.4

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) ((x + 1) (x + 1))$

解题步骤 12.1.2.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 12.1.2.3.1

运用分配律。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

解题步骤 12.1.2.3.2

运用分配律。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

解题步骤 12.1.2.3.3

运用分配律。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 12.1.2.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 12.1.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.2.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 12.1.2.4.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 12.1.2.4.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 12.1.2.4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1)$

解题步骤 12.1.2.4.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$

解题步骤 12.1.2.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$

解题步骤 12.1.2.6

化简项。

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解题步骤 12.1.2.6.1

合并 $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.2.6.1.1

按照 $2 y x \cdot 1$ 和 $- y (2 x)$ 重新排列因数。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 1 \cdot 2 x y - y x^{2} - 1 \cdot 2 x y - y \cdot 1$

解题步骤 12.1.2.6.1.2

从 $1 \cdot 2 x y$ 中减去 $2 x y$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} + 0 - y \cdot 1$

解题步骤 12.1.2.6.1.3

将 $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

解题步骤 12.1.2.6.2

化简每一项。

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解题步骤 12.1.2.6.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 12.1.2.6.2.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

解题步骤 12.1.2.6.2.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 12.1.2.6.2.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x^{1}) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

解题步骤 12.1.2.6.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{2 + 1} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

解题步骤 12.1.2.6.2.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

解题步骤 12.1.2.6.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 12.1.2.6.2.2.1

移动 $x$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y (x \cdot x) \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

解题步骤 12.1.2.6.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x^{2} \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

解题步骤 12.1.2.6.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y \cdot 1$

解题步骤 12.1.2.6.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y$

解题步骤 12.1.2.6.3

从 $4 y x^{2}$ 中减去 $y x^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y$

解题步骤 12.1.3

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.3.1

从等式两边同时减去 $2 y x^{3}$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3}$

解题步骤 12.1.3.2

从等式两边同时减去 $3 y x^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2}$

解题步骤 12.1.3.3

在等式两边都加上 $y$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$

解题步骤 12.1.3.4

合并 $2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.3.4.1

从 $2 y x^{3}$ 中减去 $2 y x^{3}$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y + 0 - 3 y x^{2} + y$

解题步骤 12.1.3.4.2

将 $3 y x^{2} - y$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y - 3 y x^{2} + y$

解题步骤 12.1.3.4.3

从 $3 y x^{2}$ 中减去 $3 y x^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + 0 + y$

解题步骤 12.1.3.4.4

将 $- y$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + y$

解题步骤 12.1.3.4.5

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$

解题步骤 12.1.4

将 $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 12.1.4.1

将 $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

解题步骤 12.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 12.1.4.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

解题步骤 12.1.4.2.1.2

用 $\frac{d g}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{2}}$

解题步骤 12.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 12.1.4.3.1

用 $0$ 除以 $x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 0$

解题步骤 13

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 0 d x$

解题步骤 13.3

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$g (x) = 0 + C$

解题步骤 13.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (x) = C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

解题步骤 15

将 $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = \frac{y (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x} + C$

微积分学 示例

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