微积分学示例

$\frac{d r}{d θ} + r \tan (θ) = \sec (θ)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d r}{d θ} + M (θ) r = Q (θ)$ 。

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解题步骤 1.1

从 $r \tan (θ)$ 中分解出因数 $r$ 。

$\frac{d r}{d θ} + r (\tan (θ)) = \sec (θ)$

解题步骤 1.2

将 $r$ 和 $\tan (θ)$ 重新排序。

$\frac{d r}{d θ} + \tan (θ) r = \sec (θ)$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (θ) d θ}$ 定义，其中 $P (θ) = \tan (θ)$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \tan (θ) d θ}$

解题步骤 2.2

$\tan (θ)$ 对 $θ$ 的积分为 $\ln (| \sec (θ) |)$ 。

$e^{\ln (| \sec (θ) |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (\sec (θ))}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$\sec (θ)$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\sec (θ)$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\sec (θ)$ 。

$\sec (θ) \frac{d r}{d θ} + \sec (θ) (\tan (θ) r) = \sec (θ) \sec (θ)$

解题步骤 3.2

乘以 $\sec (θ) \sec (θ)$ 。

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解题步骤 3.2.1

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) \frac{d r}{d θ} + \sec (θ) \tan (θ) r = \sec^{1} (θ) \sec (θ)$

解题步骤 3.2.2

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) \frac{d r}{d θ} + \sec (θ) \tan (θ) r = \sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) \frac{d r}{d θ} + \sec (θ) \tan (θ) r = {\sec (θ)}^{1 + 1}$

解题步骤 3.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (θ) \frac{d r}{d θ} + \sec (θ) \tan (θ) r = \sec^{2} (θ)$

解题步骤 3.3

将 $\sec (θ) \frac{d r}{d θ} + \sec (θ) \tan (θ) r = \sec^{2} (θ)$ 中的因式重新排序。

$\sec (θ) \frac{d r}{d θ} + r \sec (θ) \tan (θ) = \sec^{2} (θ)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d θ} [\sec (θ) r] = \sec^{2} (θ)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d θ} [\sec (θ) r] d θ = \int \sec^{2} (θ) d θ$

解题步骤 6

对左边积分。

$\sec (θ) r = \int \sec^{2} (θ) d θ$

解题步骤 7

因为 $\tan (θ)$ 的导数为 $\sec^{2} (θ)$ ，所以 $\sec^{2} (θ)$ 的积分为 $\tan (θ)$ 。

$\sec (θ) r = \tan (θ) + C$

解题步骤 8

将 $\sec (θ) r = \tan (θ) + C$ 中的每一项除以 $\sec (θ)$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $\sec (θ) r = \tan (θ) + C$ 中的每一项都除以 $\sec (θ)$ 。

$\frac{\sec (θ) r}{\sec (θ)} = \frac{\tan (θ)}{\sec (θ)} + \frac{C}{\sec (θ)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $\sec (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sec (θ) r}{\sec (θ)} = \frac{\tan (θ)}{\sec (θ)} + \frac{C}{\sec (θ)}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $r$ 除以 $1$ 。

$r = \frac{\tan (θ)}{\sec (θ)} + \frac{C}{\sec (θ)}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

将 $\sec (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$r = \frac{\tan (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}} + \frac{C}{\sec (θ)}$

解题步骤 8.3.1.2

将 $\tan (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$r = \frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{1}{\cos (θ)}} + \frac{C}{\sec (θ)}$

解题步骤 8.3.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 。

$r = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ) + \frac{C}{\sec (θ)}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $\cos (θ)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$r = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{1} + \frac{C}{\sec (θ)}$

解题步骤 8.3.1.5

约去 $\cos (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.5.1

约去公因数。

$r = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{1} + \frac{C}{\sec (θ)}$

解题步骤 8.3.1.5.2

重写表达式。

$r = \sin (θ) + \frac{C}{\sec (θ)}$

解题步骤 8.3.1.6

分离分数。

$r = \sin (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

解题步骤 8.3.1.7

将 $\sec (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$r = \sin (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

解题步骤 8.3.1.8

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 。

$r = \sin (θ) + \frac{C}{1} (1 \cos (θ))$

解题步骤 8.3.1.9

将 $\cos (θ)$ 乘以 $1$ 。

$r = \sin (θ) + \frac{C}{1} \cos (θ)$

解题步骤 8.3.1.10

用 $C$ 除以 $1$ 。

$r = \sin (θ) + C \cos (θ)$

微积分学 示例

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