微积分学示例

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{1}{1 + x^{2}} y = x^{3}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

重新排序项。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$

解题步骤 1.1.2

重新排序项。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - y \frac{1}{x^{2} + 1} = x^{3}$

解题步骤 1.2

从 $- y \frac{1}{x^{2} + 1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x^{2} + 1}) = x^{3}$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $- \frac{1}{x^{2} + 1}$ 重新排序。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

解题步骤 1.5

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

解题步骤 1.6

组合 $\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ 和 $x$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

解题步骤 1.7

组合 $y$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y}{x^{2} + 1} x = x^{3} x$

解题步骤 1.8

组合 $x$ 和 $\frac{y}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3} x$

解题步骤 1.9

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.9.1

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.9.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3} x^{1}$

解题步骤 1.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3 + 1}$

解题步骤 1.9.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

解题步骤 1.10

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.10.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

解题步骤 1.10.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

解题步骤 1.11

从 $- \frac{x y}{x^{2} + 1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{2} + 1}) = x^{4}$

解题步骤 1.12

将 $y$ 和 $- \frac{x}{x^{2} + 1}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{2} + 1} y = x^{4}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{x}{x^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

解题步骤 2.2

对 $- \frac{x}{x^{2} + 1}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

解题步骤 2.2.2

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.2.2.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.2.2.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$e^{- \int \frac{1}{2 u} d u}$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 2.2.6

化简。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C}$

解题步骤 2.2.7

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

解题步骤 3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{x}{x^{2} + 1}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x y}{x^{2} + 1} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

解题步骤 3.2.4

乘以 $- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x y}{x^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{x y}{x^{2} + 1}$ 乘以 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

解题步骤 3.2.4.2

通过指数相加将 $x^{2} + 1$ 乘以 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1

将 $x^{2} + 1$ 乘以 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1.1

对 $x^{2} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

解题步骤 3.2.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

解题步骤 3.2.4.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

解题步骤 3.2.4.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

解题步骤 3.2.4.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{x^{4}}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{1}}} d x$

解题步骤 7.2

使 $x = \tan (t_{1})$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t_{1})$ 为正数。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{(\tan^{2} (t_{1}) + 1)}^{1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.3

化简项。

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解题步骤 7.3.1

化简 $\sqrt{{(\tan^{2} (t_{1}) + 1)}^{1}}$ 。

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解题步骤 7.3.1.1

使用勾股恒等式。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{(\sec^{2} (t_{1}))}^{1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.3.1.2

将 ${(\sec^{2} (t_{1}))}^{1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{\sec (t_{1})}^{2 \cdot 1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.3.2

约去 $\sec (t_{1})$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.1

从 $\sec^{2} (t_{1})$ 中分解出因数 $\sec (t_{1})$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 7.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 7.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \tan^{4} (t_{1}) \sec (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.4

对 $\sec (t_{1})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \tan^{4} (t_{1}) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 7.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {\tan (t_{1})}^{2 (2)} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.5.2

将 ${\tan (t_{1})}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {(\tan^{2} (t_{1}))}^{2} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.6

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t_{1})$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {(- 1 + \sec^{2} (t_{1}))}^{2} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.7

化简。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int (1 - 2 \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t)) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.8

化简项。

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解题步骤 7.8.1

运用分配律。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int 1 \sec^{1} (t_{1}) - 2 \sec^{2} (t) \sec^{1} (t_{1}) + \sec^{4} (t) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.8.2

化简每一项。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \sec (t_{1}) - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) + \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.9

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \sec (t_{1}) d t_{1} + \int - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.10

$\sec (t_{1})$ 对 $t_{1}$ 的积分为 $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.11

由于 $- 2 \sec^{2} (t)$ 对于 $t_{1}$ 是常数，所以将 $- 2 \sec^{2} (t)$ 移到积分外。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) \int \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.12

$\sec (t_{1})$ 对 $t_{1}$ 的积分为 $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.13

由于 $\sec^{4} (t)$ 对于 $t_{1}$ 是常数，所以将 $\sec^{4} (t)$ 移到积分外。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \sec^{4} (t) \int \sec (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.14

$\sec (t_{1})$ 对 $t_{1}$ 的积分为 $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \sec^{4} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C)$

解题步骤 7.15

化简。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C$

解题步骤 7.16

使用 $\arctan (x)$ 替换所有出现的 $t_{1}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简左边。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arctan (x))$ 为 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

解题步骤 8.2.1.1.2

正切和余切互为反函数。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

解题步骤 8.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.2.1

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

解题步骤 8.2.1.2.2

正切和余切互为反函数。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

解题步骤 8.2.1.3

乘以 $- 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ 。

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解题步骤 8.2.1.3.1

将 $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ 和 $- 2$ 重新排序。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \cdot \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

解题步骤 8.2.1.3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \cdot \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ 。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({| \sqrt{1 + x^{2}} + x |}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

解题步骤 8.2.1.4

去掉 ${| \sqrt{1 + x^{2}} + x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

解题步骤 8.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.5.1

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) + C$

解题步骤 8.2.1.5.2

正切和余切互为反函数。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C$

解题步骤 8.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) = - \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 8.4

将方程重写为 $- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ 。

$- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$

解题步骤 8.5

从等式两边同时减去 $C$ 。

$- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - C$

解题步骤 8.6

将 $- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 8.6.1

将 $- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

解题步骤 8.6.2

化简左边。

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解题步骤 8.6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

解题步骤 8.6.2.2

用 $\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

解题步骤 8.6.3

化简右边。

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解题步骤 8.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.6.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

解题步骤 8.6.3.1.2

用 $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ 除以 $1$ 。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

解题步骤 8.6.3.1.3

移动 $\frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 1 \cdot (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)) + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

解题步骤 8.6.3.1.4

将 $- 1 \cdot (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t))$ 重写为 $- (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t))$ 。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)) + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

解题步骤 8.6.3.1.5

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \frac{\sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{1} + \frac{- C}{- 1}$

解题步骤 8.6.3.1.6

用 $\sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ 除以 $1$ 。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{- C}{- 1}$

解题步骤 8.6.3.1.7

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{C}{1}$

解题步骤 8.6.3.1.8

用 $C$ 除以 $1$ 。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C$

解题步骤 8.7

两边同时乘以 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = (\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.8

化简。

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解题步骤 8.8.1

化简左边。

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解题步骤 8.8.1.1

约去 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.8.1.1.1

约去公因数。

解题步骤 8.8.1.1.2

重写表达式。

$y = (\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.8.2

化简右边。

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解题步骤 8.8.2.1

化简 $(\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.8.2.1.1

运用分配律。

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.8.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 8.8.2.1.2.1

将 $\sec^{4} (t)$ 和 $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ 重新排序。

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.8.2.1.2.2

移动 $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.8.2.1.2.3

将 $- \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重新排序。

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

微积分学 示例

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