微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = y \sin^{3} (t)$ , $y (0) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $y \sin^{3} (t)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (\sin^{3} (t)))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \sin^{3} (t)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

因式分解出 $\sin^{2} (t)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

解题步骤 2.3.2

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (t)$ 重写成 $1 - \cos^{2} (t)$ 的形式。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

解题步骤 2.3.3

使 $u = \cos (t)$ 。然后使 $d u = - \sin (t) d t$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.3.1

设 $u = \cos (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

对 $\cos (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 2.3.3.1.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$- \sin (t)$

解题步骤 2.3.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 + u^{2} d u$

解题步骤 2.3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d u + \int u^{2} d u$

解题步骤 2.3.5

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \int u^{2} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \frac{1}{3} u^{3} + C_{3}$

解题步骤 2.3.7

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + \frac{1}{3} u^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.8

使用 $\cos (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C_{4}$

解题步骤 2.3.9

重新排序项。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$ 。

$| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\cos^{3} (t)$ 。

$| y | = e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$ 重写为 $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $t$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ 中求 $C$ 的值。

$1 = C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)}$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$ 。

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1 \cdot 1} = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1} = 1$

解题步骤 6.2.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.3.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$C e^{\frac{1^{3}}{3} - 1} = 1$

解题步骤 6.2.3.2

一的任意次幂都为一。

$C e^{\frac{1}{3} - 1} = 1$

解题步骤 6.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$C e^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} = 1$

解题步骤 6.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$C e^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} = 1$

解题步骤 6.2.6

在公分母上合并分子。

$C e^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} = 1$

解题步骤 6.2.7

化简分子。

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解题步骤 6.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$C e^{\frac{1 - 3}{3}} = 1$

解题步骤 6.2.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$

解题步骤 6.3

将 $C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ 中的每一项除以 $e^{- \frac{2}{3}}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ 中的每一项都除以 $e^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{C e^{\frac{- 2}{3}}}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $C e^{\frac{- 2}{3}}$ 中分解出因数 $e^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{C e^{\frac{0}{3}}}{1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.2.2.4

用 $C e^{\frac{0}{3}}$ 除以 $1$ 。

$C e^{\frac{0}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.2.3

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$C e^{\frac{3 (0)}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.2.3.2.2

约去公因数。

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.2.3.2.3

重写表达式。

$C e^{\frac{0}{1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.2.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$C e^{0} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 6.3.2.4.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$C \cdot 1 = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.2.4.2

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$C = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 将 $e^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$C = e^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 7

代入 $e^{\frac{2}{3}}$ 替换 $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $e^{\frac{2}{3}}$ 替换 $C$ 。

$y = e^{\frac{2}{3}} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

解题步骤 7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = e^{\frac{2}{3} + \frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

微积分学 示例

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