微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 + x^{2}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \sqrt{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $x = \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 为正数。

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.2

化简 $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

重新整理项。

$y + C_{1} = \int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.2.2

使用勾股恒等式。

$y + C_{1} = \int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.3

通过指数相加将 $\sec (t)$ 乘以 $\sec^{2} (t)$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\sec (t)$ 乘以 $\sec^{2} (t)$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = \int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

解题步骤 2.3.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y + C_{1} = \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 2.3.4

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (t)$ ， $d v = \sec^{2} (t)$ 。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.3.6

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

解题步骤 2.3.7

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

解题步骤 2.3.9

化简表达式。

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解题步骤 2.3.9.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 2.3.9.2

将 $\tan^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 重新排序。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.10

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.3.11

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.3.11.1

将幂重写为乘积形式。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 2.3.11.2

运用分配律。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 2.3.11.3

将 $\sec (t)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 2.3.12

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

解题步骤 2.3.13

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 2.3.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

解题步骤 2.3.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 2.3.16

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 2.3.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

解题步骤 2.3.18

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 2.3.19

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 2.3.20

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 2.3.21

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 2.3.22

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.3.22.1

运用分配律。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 2.3.22.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 2.3.23

求解 $\int \sec^{3} (t) d t$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2} + C_{3}$

解题步骤 2.3.24

将 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}}{2} + C_{3}$

解题步骤 2.3.25

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C_{4}$

解题步骤 2.3.26

使用 $\arctan (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$

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