微积分学示例

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $(x^{2} - 1) y$ 项的导数的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 1$ 且 $g (x) = y$ 。

$(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$(x^{2} - 1) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 1.3

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(x^{2} - 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 1.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + 0)$

解题步骤 1.6

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x)$

解题步骤 1.7

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

解题步骤 1.8

去掉圆括号。

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

解题步骤 1.9

移动 $y$ 。

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] = x$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] d x = \int x d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$(x^{2} - 1) y = \int x d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 6

将 $(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项除以 $x^{2} - 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $x^{2} - 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

解题步骤 6.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

约去 $x^{2} - 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

解题步骤 6.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

解题步骤 6.3.1.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

解题步骤 6.3.1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

解题步骤 6.3.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

解题步骤 6.3.1.4

合并。

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 ((x + 1) (x - 1))} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

解题步骤 6.3.1.5

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

解题步骤 6.3.1.6

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 6.3.1.6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$

微积分学 示例

微积分学示例