微积分学示例

$x (1 - y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1

运用分配律。

$(x \cdot 1 + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

解题步骤 1.1.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(x + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

解题步骤 1.1.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$(x - x y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

解题步骤 1.1.1.4

运用分配律。

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

解题步骤 1.1.1.5

运用分配律。

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + 1 y - x y = 0$

解题步骤 1.1.1.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + y - x y = 0$

解题步骤 1.1.2

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.2.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} - x y = - y$

解题步骤 1.1.2.2

在等式两边都加上 $x y$ 。

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

解题步骤 1.1.3

从 $x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $x \frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $x \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $x \frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

解题步骤 1.1.3.2

从 $- x y \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $x \frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y) = - y + x y$

解题步骤 1.1.3.3

从 $x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y)$ 中分解出因数 $x \frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d y}{d x} (1 - 1 y) = - y + x y$

解题步骤 1.1.4

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$

解题步骤 1.1.5

将 $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ 中的每一项除以 $x (1 - y)$ 并化简。

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解题步骤 1.1.5.1

将 $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ 中的每一项都除以 $x (1 - y)$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.5.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.2.2

约去 $1 - y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.3.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.3.1.2.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y}$

解题步骤 1.1.5.3.2

要将 $\frac{y}{1 - y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 1.1.5.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (1 - y)$ 的形式。

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解题步骤 1.1.5.3.3.1

将 $\frac{y}{1 - y}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{(1 - y) x}$

解题步骤 1.1.5.3.3.2

重新排序 $(1 - y) x$ 的因式。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + y x}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.3.5

从 $- y + y x$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.1.5.3.5.1

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y x}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.3.5.2

从 $y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y (x)}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.3.5.3

从 $y \cdot - 1 + y (x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 + x)}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.3.6

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) + x)}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.3.7

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) - 1 (- x))}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.3.8

从 $- 1 (1) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1 - x))}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.1.5.3.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (1 - x)}{x (1 - y)}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1 - y}{y}$ 。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{y} (- \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} (\frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{y}{1 - y}$ 乘以 $\frac{1 - x}{x}$ 。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

解题步骤 1.4.3

约去 $1 - y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $- \frac{1 - y}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (1 - y)}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

解题步骤 1.4.3.2

从 $- (1 - y)$ 中分解出因数 $1 - y$ 。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

解题步骤 1.4.3.3

从 $(1 - y) x$ 中分解出因数 $1 - y$ 。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) (x)}$

解题步骤 1.4.3.4

约去公因数。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

解题步骤 1.4.3.5

重写表达式。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

解题步骤 1.4.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

解题步骤 1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x}{x}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1 - x}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

解题步骤 2.2.3.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

解题步骤 2.2.5

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

解题步骤 2.2.7

重新排序项。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 - x}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

将 $1$ 和 $- x$ 重新排序。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{- x + 1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

用 $- x + 1$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$x$

$1$

解题步骤 2.3.3.2

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$1$
	$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$

解题步骤 2.3.3.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$0$

解题步骤 2.3.3.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x + 0$ 中的所有符号

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$

解题步骤 2.3.3.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$
					+	$1$

解题步骤 2.3.3.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int - 1 + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int - 1 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.5

应用常数不变法则。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5})$

解题步骤 2.3.7

化简。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + \ln (| x |)) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- y + \ln (| y |) = - (- x + \ln (| x |)) + C$

微积分学 示例

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