微积分学示例

$2 x y \frac{d y}{d x} + y^{2} - 2 x = 0$

解题步骤 1

使 $v = y^{2}$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $y^{2}$ 。

$2 x y \frac{d y}{d x} + v - 2 x = 0$

解题步骤 2

通过对 $y^{2}$ 进行微分求 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

解题步骤 3

将导数代回微分方程。

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解题步骤 3.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

解题步骤 3.2

约去公因数。

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

解题步骤 3.3

重写表达式。

$x \frac{d v}{d x} + v - 2 x = 0$

解题步骤 4

在等式两边都加上 $2 x$ 。

$x \frac{d v}{d x} + v = 2 x$

解题步骤 5

检查方程的左侧是否是 $x v$ 项的导数的结果。

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解题步骤 5.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = v$ 。

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.2

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x v' + v \cdot 1$

解题步骤 5.4

代入 $\frac{d v}{d x}$ 替换 $v'$ 。

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

解题步骤 5.5

将 $v$ 和 $1$ 重新排序。

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

解题步骤 5.6

将 $v$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d v}{d x} + v$

解题步骤 6

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x v] = 2 x$

解题步骤 7

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 2 x d x$

解题步骤 8

对左边积分。

$x v = \int 2 x d x$

解题步骤 9

对右边积分。

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解题步骤 9.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x v = 2 \int x d x$

解题步骤 9.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$x v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 9.3

化简答案。

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解题步骤 9.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$x v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 9.3.2

化简。

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解题步骤 9.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.2.1

约去公因数。

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9.3.2.2.2

重写表达式。

$x v = 1 x^{2} + C$

解题步骤 9.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x v = x^{2} + C$

解题步骤 10

将 $x v = x^{2} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 10.1

将 $x v = x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 10.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 10.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 10.3

化简右边。

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解题步骤 10.3.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$v = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 10.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$v = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 10.3.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 10.3.1.2.3

约去公因数。

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 10.3.1.2.4

重写表达式。

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 10.3.1.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$v = x + \frac{C}{x}$

解题步骤 11

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$y^{2} = x + \frac{C}{x}$

解题步骤 12

求解 $y$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$

解题步骤 12.2

化简 $\pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$ 。

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解题步骤 12.2.1

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}}$

解题步骤 12.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x + C}{x}}$

解题步骤 12.2.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$

解题步骤 12.2.4

将 $\sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 12.2.5

将 $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 12.2.6

合并和化简分母。

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解题步骤 12.2.6.1

将 $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 12.2.6.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

解题步骤 12.2.6.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

解题步骤 12.2.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 12.2.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 12.2.6.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 12.2.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 12.2.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 12.2.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.2.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.6.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.2.6.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{1}}$

解题步骤 12.2.6.6.5

化简。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 12.2.7

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$

解题步骤 12.2.8

将 $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

解题步骤 12.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 12.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

解题步骤 12.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

解题步骤 12.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

微积分学 示例

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