微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{y (x + 2)}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}}$ 。

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} (\frac{x}{x + 2} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{x}{x + 2}$ 乘以 $\frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y}$ 。

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \cdot \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{(x + 2) y}$

解题步骤 1.3.2

合并。

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (x {(y^{2} + 1)}^{4})}{{(y^{2} + 1)}^{4} ((x + 2) y)}$

解题步骤 1.3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.1

约去公因数。

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (x {(y^{2} + 1)}^{4})}{{(y^{2} + 1)}^{4} ((x + 2) y)}$

解题步骤 1.3.3.2

重写表达式。

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{{(y^{2} + 1)}^{4} (x + 2)}$

解题步骤 1.3.4

约去 ${(y^{2} + 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{{(y^{2} + 1)}^{4} (x + 2)}$

解题步骤 1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = y^{2} + 1$ 。然后使 $d u_{1} = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = y^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y^{2} + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$2 y + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$2 y$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{4}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $\frac{1}{{u_{1}}^{4}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{4} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 移到 ${u_{1}}^{4}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{4}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{4}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.4.1

通过将 ${u_{1}}^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{4})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.4.2

将 ${({u_{1}}^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{4 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.5

根据幂法则， ${u_{1}}^{- 4}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3} + C_{1})$ 重写为 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{3}}) + C_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{3}}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.6.2

化简。

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解题步骤 2.2.6.2.1

将 $\frac{1}{{u_{1}}^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{{u_{1}}^{3} \cdot 3}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.6.2.2

将 $3$ 移到 ${u_{1}}^{3}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3 \cdot {u_{1}}^{3}}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.6.2.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3 {u_{1}}^{3}}$ 。

$- \frac{1}{2 (3 {u_{1}}^{3})} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.6.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{6 {u_{1}}^{3}} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2.7

使用 $y^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

用 $x$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x$

$0$

解题步骤 2.3.1.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

解题步骤 2.3.1.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

解题步骤 2.3.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 2$ 中的所有符号

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

解题步骤 2.3.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

解题步骤 2.3.1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

解题步骤 2.3.5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

解题步骤 2.3.7

使 $u_{2} = x + 2$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.7.1

设 $u_{2} = x + 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.7.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 2.3.7.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.7.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.7.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.7.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

解题步骤 2.3.9

化简。

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x - 2 \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.10

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$

微积分学 示例

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