微积分学示例

$y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$ 中的每一项除以 $y \ln (x)$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

将 $y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$ 中的每一项都除以 $y \ln (x)$ 。

$\frac{y \ln (x) \frac{d x}{d y}}{y \ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (x) \frac{d x}{d y}}{y \ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\ln (x) \frac{d x}{d y}}{\ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

约去 $\ln (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\ln (x) \frac{d x}{d y}}{\ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2.2.2

用 $\frac{d x}{d y}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

对 $\frac{y - 1}{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{d x}{d y} = \frac{\frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2}}}{y \ln (x)}$

解题步骤 1.1.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y \ln (x)}$

解题步骤 1.1.3.3

合并。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} (y \ln (x))}$

解题步骤 1.1.3.4

将 ${(y - 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2} y \ln (x)}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2} \ln (x)}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $x^{2} \ln (x)$ 。

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) (\frac{{(y - 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2} \ln (x)})$

解题步骤 1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

合并。

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{y (x^{2} \ln (x))}$

解题步骤 1.4.2

约去 $x^{2} \ln (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.1

从 $y (x^{2} \ln (x))$ 中分解出因数 $x^{2} \ln (x)$ 。

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} \ln (x) (y)}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} \ln (x) y}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{y}$

解题步骤 1.4.3

将 ${(y - 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$x^{2} \ln (x) d x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int x^{2} \ln (x) d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{2}$ 。

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.2.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.4.2

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.4.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.4.2.2.5

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.6

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.1

将 $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1})$ 重写为 $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}$ 。

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.6.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.6.2.2

组合 $\frac{\ln (x)}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.6.2.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.6.2.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.6.3

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.6.4

重新排序项。

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2.7

重新排序项。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 ${(y - 1)}^{2}$ 重写为 $(y - 1) (y - 1)$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{(y - 1) (y - 1)}{y} d y$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y (y - 1) - 1 (y - 1)}{y} d y$

解题步骤 2.3.3

运用分配律。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)}{y} d y$

解题步骤 2.3.4

运用分配律。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

解题步骤 2.3.5

将 $y$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

解题步骤 2.3.6

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1} y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

解题步骤 2.3.7

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1 + 1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

解题步骤 2.3.9

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.9.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

解题步骤 2.3.9.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 1 y - 1 y + 1}{y} d y$

解题步骤 2.3.10

从 $- 1 y$ 中减去 $1 y$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 2 y + 1}{y} d y$

解题步骤 2.3.11

用 $y^{2} - 2 y + 1$ 除以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.11.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

解题步骤 2.3.11.2

将被除数中的最高阶项 $y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$

解题步骤 2.3.11.3

将新的商式项乘以除数。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

解题步骤 2.3.11.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y^{2} + 0$ 中的所有符号

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

解题步骤 2.3.11.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

解题步骤 2.3.11.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$

解题步骤 2.3.11.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$

解题步骤 2.3.11.8

将新的商式项乘以除数。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

解题步骤 2.3.11.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 y + 0$ 中的所有符号

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

解题步骤 2.3.11.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

解题步骤 2.3.11.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int y - 2 + \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.3.12

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int y d y + \int - 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.3.13

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} + \int - 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.3.14

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} - 2 y + C_{3} + \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.3.15

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} - 2 y + C_{3} + \ln (| y |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.16

化简。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} - 2 y + \ln (| y |) + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} = \frac{1}{2} y^{2} - 2 y + \ln (| y |) + C$

微积分学 示例

微积分学示例