微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 1.4

组合 $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ 和 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 1.5

从 $\frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 1.6

将 $y$ 和 $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\int \frac{2 x + 1}{(x + 1) x} d x}$

解题步骤 2.2.2

使 $u = (x + 1) x$ 。然后使 $d u = (2 x + 1) d x$ ，以便 $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = (x + 1) x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $(x + 1) x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [(x + 1) x]$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x$ 。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.2.2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + 1) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$x + 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$x + 1 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2.2.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x + 1 + x (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2.2.1.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x + 1 + x (1 + 0)$

解题步骤 2.2.2.1.3.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x + 1 + x \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.1.3.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + 1 + x$

解题步骤 2.2.2.1.3.6.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x + 1$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$e^{\ln (| u |) + C}$

解题步骤 2.2.4

使用 $(x + 1) x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\ln (| (x + 1) x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln ((x + 1) x)}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$(x + 1) x$

解题步骤 2.5

运用分配律。

$x \cdot x + 1 x$

解题步骤 2.6

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 1 x$

解题步骤 2.7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $x^{2} + x$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $x^{2} + x$ 。

$(x^{2} + x) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{(x + 1) x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.4

组合 $\frac{2 x + 1}{(x + 1) x}$ 和 $y$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) \frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.5

将 $x^{2} + x$ 乘以 $\frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + x) ((2 x + 1) y)}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.6

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x^{1}) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.6.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.6.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.7

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.1

约去公因数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.7.2

重写表达式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{((x + 1) (2 x + 1)) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.8

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.8.1

约去公因数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) (2 x + 1) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.8.2

用 $(2 x + 1) y$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (2 x + 1) y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.9

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + 1 y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.2.10

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

将 $x^{2} + x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

解题步骤 3.3.2

将负号移到分数的前面。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) (- \frac{1}{x})$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x^{2} (- \frac{1}{x}) + x (- \frac{1}{x})$

解题步骤 3.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} + x (- \frac{1}{x})$

解题步骤 3.3.5

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3.6

化简每一项。

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解题步骤 3.3.6.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.1.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3.6.1.2

约去公因数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3.6.1.3

重写表达式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - x \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3.6.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.2.1

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3.6.2.2

约去公因数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3.6.2.3

重写表达式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - 1$

解题步骤 3.4

合并 $x^{2} + x - x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 3.4.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + 0 - 1$

解题步骤 3.4.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} - 1$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] = x^{2} - 1$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 7.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

解题步骤 7.3

应用常数不变法则。

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

解题步骤 7.4

化简。

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

解题步骤 8

将 $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ 中的每一项除以 $x^{2} + x$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ 中的每一项都除以 $x^{2} + x$ 。

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $x^{2} + x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.2

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 8.3.1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.2.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.2.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.4

合并。

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.5

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.5.1

从 $x^{3} \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.1.5.2.1

从 $3 (x (x + 1))$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.5.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.5.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.6

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.7

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 8.3.1.7.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.7.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.7.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.7.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.8.1

约去公因数。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.8.2

重写表达式。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- 1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.9

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

解题步骤 8.3.1.10

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 8.3.1.10.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x}$

解题步骤 8.3.1.10.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x^{1}}$

解题步骤 8.3.1.10.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x \cdot 1}$

解题步骤 8.3.1.10.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x (x + 1)}$

解题步骤 8.3.2

要将 $- \frac{1}{x + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

解题步骤 8.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 (x + 1)$ 的形式。

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解题步骤 8.3.3.1

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

解题步骤 8.3.3.2

重新排序 $(x + 1) \cdot 3$ 的因式。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

解题步骤 8.3.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

解题步骤 8.3.5

要将 $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)}$

解题步骤 8.3.6

要将 $\frac{C}{x (x + 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 8.3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 (x + 1) x$ 的形式。

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解题步骤 8.3.7.1

将 $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 8.3.7.2

将 $\frac{C}{x (x + 1)}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

解题步骤 8.3.7.3

重新排序 $3 (x + 1) x$ 的因式。

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

解题步骤 8.3.7.4

重新排序 $x (x + 1) \cdot 3$ 的因式。

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

解题步骤 8.3.8

在公分母上合并分子。

$y = \frac{(x^{2} - 3) x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

解题步骤 8.3.9

化简分子。

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解题步骤 8.3.9.1

运用分配律。

$y = \frac{x^{2} x - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

解题步骤 8.3.9.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.3.9.2.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.3.9.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{2} x^{1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

解题步骤 8.3.9.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{2 + 1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

解题步骤 8.3.9.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x^{3} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

解题步骤 8.3.9.3

将 $3$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 x (x + 1)}$

微积分学 示例

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