微积分学示例

$(4 + x^{2}) d y + 4 d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $4 d x$ 。

$(4 + x^{2}) d y = - 4 d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{4 + x^{2}}$ 。

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $4 + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$1 d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{4 + x^{2}}$ 和 $- 4$ 。

$1 d y = \frac{- 4}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$1 d y = - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - \int \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

解题步骤 4.3.3

使用指数书写表达式。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.4

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

解题步骤 4.3.5

化简答案。

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解题步骤 4.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (\frac{x}{2})$ 。

$y + C_{1} = - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

解题步骤 4.3.5.2

将 $- 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ 重写为 $- 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.3.5.3

化简。

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解题步骤 4.3.5.3.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.3.5.3.2

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.3.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.3.5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.5.3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.3.5.3.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.3.5.3.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.3.5.3.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.3.5.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

解题步骤 4.3.5.4

重新排序项。

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + K$

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