微积分学示例

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = \frac{y}{x}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{1}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

解题步骤 1.4

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $y^{3} - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.2.2

因为 $y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

解题步骤 2.4

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- \frac{1}{x}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- \frac{1}{x}$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $\frac{1}{x}$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $M$ 。

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

解题步骤 4.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

解题步骤 4.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

解题步骤 4.3.4

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

解题步骤 4.3.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

约去公因数。

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

解题步骤 4.3.5.2

重写表达式。

$- 2 \frac{1}{y}$

解题步骤 4.3.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{- 2}{y}$

解题步骤 4.3.7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $M$ 。

$- \frac{2}{y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 5.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.3

去掉 ${| y |}^{- 2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

解题步骤 6

在 $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{y}{x}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 6.2

合并。

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 6.3

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $y \cdot 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $y^{3} - \ln (x)$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $y^{3} - \ln (x)$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $\frac{1}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{y}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 8.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 8.3

化简答案。

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解题步骤 8.3.1

化简。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{1}{y}$ 和 $\ln (| x |)$ 。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 11

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)] = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1.1

重写。

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 12.1.2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = \frac{y}{x}$ 的值。

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解题步骤 12.1.2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

解题步骤 12.1.2.2

因为 $\frac{1}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 12.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

解题步骤 12.1.2.4

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

解题步骤 12.1.3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ 的值。

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解题步骤 12.1.3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

解题步骤 12.1.3.2

求微分。

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解题步骤 12.1.3.2.1

根据加法法则， $y^{3} - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 12.1.3.2.2

因为 $y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 12.1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

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解题步骤 12.1.3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 12.1.3.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

解题步骤 12.1.3.4

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 12.1.4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 12.1.4.1

将 $\frac{1}{x}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- \frac{1}{x}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 12.1.4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ 不是恒等式。

解题步骤 12.1.5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 12.1.5.1

代入 $- \frac{1}{x}$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 12.1.5.2

代入 $\frac{1}{x}$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

解题步骤 12.1.5.3

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 12.1.5.3.1

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $M$ 。

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

解题步骤 12.1.5.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

解题步骤 12.1.5.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

解题步骤 12.1.5.3.4

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

解题步骤 12.1.5.3.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.5.3.5.1

约去公因数。

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

解题步骤 12.1.5.3.5.2

重写表达式。

$- 2 \frac{1}{y}$

解题步骤 12.1.5.3.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{- 2}{y}$

解题步骤 12.1.5.3.7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $M$ 。

$- \frac{2}{y}$

解题步骤 12.1.5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 12.1.6

计算积分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ 。

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解题步骤 12.1.6.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 12.1.6.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 12.1.6.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 12.1.6.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 12.1.6.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 12.1.6.6

化简每一项。

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解题步骤 12.1.6.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

解题步骤 12.1.6.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

解题步骤 12.1.6.6.3

去掉 ${| y |}^{- 2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

解题步骤 12.1.6.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

解题步骤 12.1.7

在 $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

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解题步骤 12.1.7.1

将 $\frac{y}{x}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 12.1.7.2

合并。

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 12.1.7.3

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.7.3.1

从 $y \cdot 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 12.1.7.3.2

约去公因数。

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解题步骤 12.1.7.3.2.1

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 12.1.7.3.2.2

约去公因数。

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 12.1.7.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

解题步骤 12.1.7.4

将 $y^{3} - \ln (x)$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 12.1.7.5

将 $y^{3} - \ln (x)$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 12.1.8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

解题步骤 12.1.9

对 $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 12.1.9.1

由于 $\frac{1}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{y}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 12.1.9.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 12.1.9.3

化简答案。

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解题步骤 12.1.9.3.1

化简。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

解题步骤 12.1.9.3.2

组合 $\frac{1}{y}$ 和 $\ln (| x |)$ 。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

解题步骤 12.1.10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

解题步骤 12.1.11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12

化简左边。

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解题步骤 12.1.12.1

化简 $\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y))$ 。

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解题步骤 12.1.12.1.1

化简项。

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解题步骤 12.1.12.1.1.1

约去 $d$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.12.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12.1.1.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $\frac{\ln (| x |)}{y} + g y$ 。

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + g y}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12.1.2

化简分子。

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解题步骤 12.1.12.1.2.1

要将 $g y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + \frac{g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12.1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12.1.2.3

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 12.1.12.1.2.3.1

移动 $y$ 。

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g (y \cdot y)}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12.1.2.3.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12.1.4

乘以 $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ 。

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解题步骤 12.1.12.1.4.1

将 $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y \cdot y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12.1.4.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12.1.4.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y^{1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1 + 1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.12.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

解题步骤 12.1.13

将 $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ 中的每一项乘以 $y^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 12.1.13.1

将 $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ 中的每一项乘以 $y^{2}$ 。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

解题步骤 12.1.13.2

化简左边。

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解题步骤 12.1.13.2.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.13.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

解题步骤 12.1.13.2.1.2

重写表达式。

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

解题步骤 12.1.13.3

化简右边。

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解题步骤 12.1.13.3.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.13.3.1.1

约去公因数。

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

解题步骤 12.1.13.3.1.2

重写表达式。

$\ln (| x |) + g y^{2} = y^{3} - \ln (x)$

解题步骤 12.1.14

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| x |) + \ln (x) = - g y^{2} + y^{3}$

解题步骤 12.1.15

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| x | x) = - g y^{2} + y^{3}$

解题步骤 12.1.16

将 $\ln (| x | x)$ 中的因式重新排序。

$\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$

解题步骤 13

求 $- g y^{2} + y^{3}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$ 的两边积分。

$\int \ln (x | x |) d y = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

解题步骤 13.2

重写。

$0 + 0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

解题步骤 13.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

解题步骤 13.4

计算 $\int \ln (x | x |) d y$ 。

$g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

解题步骤 13.5

将单个积分拆分为多个积分。

$g (y) = \int - g y^{2} d y + \int y^{3} d y$

解题步骤 13.6

由于 $- g$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- g$ 移到积分外。

$g (y) = - g \int y^{2} d y + \int y^{3} d y$

解题步骤 13.7

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y^{3} d y$

解题步骤 13.8

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 13.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$g (y) = - g (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 13.10

化简。

$g (y) = - \frac{y^{3} g}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 13.11

化简。

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解题步骤 13.11.1

重新排序项。

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} g) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 13.11.2

去掉圆括号。

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3}) g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 13.11.3

去掉圆括号。

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

组合 $y^{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{y^{3}}{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 15.2

组合 $g$ 和 $\frac{y^{3}}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 15.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $y^{4}$ 。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{y^{4}}{4} + C$

微积分学 示例

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