微积分学示例

$- \frac{y^{2}}{t^{2}} d t + \frac{2 y}{t} d y = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $\frac{y^{2}}{t^{2}} d t$ 。

$\frac{2 y}{t} d y = \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{t}{y^{2}}$ 。

$\frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{2 y}{t} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

合并。

$\frac{t (2 y)}{y^{2} t} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

解题步骤 3.2

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{t (2 y)}{y^{2} t} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{2 y}{y^{2}} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

解题步骤 3.3

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot 2}{y^{2}} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

解题步骤 3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

解题步骤 3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{y} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

解题步骤 3.4

合并。

$\frac{2}{y} d y = \frac{t y^{2}}{y^{2} t^{2}} d t$

解题步骤 3.5

约去 $t$ 和 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $t y^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{2}{y} d y = \frac{t (y^{2})}{y^{2} t^{2}} d t$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $y^{2} t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{2}{y} d y = \frac{t (y^{2})}{t (y^{2} t)} d t$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2}{y} d y = \frac{t y^{2}}{t (y^{2} t)} d t$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{y} d y = \frac{y^{2}}{y^{2} t} d t$

解题步骤 3.6

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

约去公因数。

$\frac{2}{y} d y = \frac{y^{2}}{y^{2} t} d t$

解题步骤 3.6.2

重写表达式。

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{t} d t$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{1}{t} d t$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{t} d t$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

解题步骤 4.2.3

化简。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

解题步骤 4.3

$\frac{1}{t}$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| t |)$ 。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$2 \ln (| y |) = \ln (| t |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 \ln (| y |) - \ln (| t |) = C$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $2 \ln (| y |) - \ln (| t |)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| y |)$ 。

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| t |) = C$

解题步骤 5.2.1.1.2

去掉 ${| y |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (y^{2}) - \ln (| t |) = C$

解题步骤 5.2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{y^{2}}{| t |}) = C$

解题步骤 5.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| t |})} = e^{C}$

解题步骤 5.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{y^{2}}{| t |}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{y^{2}}{| t |}$

解题步骤 5.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $\frac{y^{2}}{| t |} = e^{C}$ 。

$\frac{y^{2}}{| t |} = e^{C}$

解题步骤 5.5.2

两边同时乘以 $| t |$ 。

$\frac{y^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

解题步骤 5.5.3

化简左边。

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解题步骤 5.5.3.1

约去 $| t |$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

解题步骤 5.5.3.1.2

重写表达式。

$y^{2} = e^{C} | t |$

解题步骤 5.5.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.5.4.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{e^{C} | t |}$

解题步骤 5.5.4.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.4.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

解题步骤 5.5.4.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

解题步骤 5.5.4.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \sqrt{C | t |}$

$y = - \sqrt{C | t |}$

微积分学 示例

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