微积分学示例

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $\cos (x) \frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$ 中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1.3

从 $\frac{y}{\cos (x)}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1.4

将 $y$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{\cos (x)} y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{1}{\cos (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{\cos (x)} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$e^{\int \sec (x) d x}$

解题步骤 2.2.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 。

$e^{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (\sec (x) + \tan (x))}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$\sec (x) + \tan (x)$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\sec (x) + \tan (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

每一项乘以 $\sec (x) + \tan (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.4

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + (\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.5.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.6

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.7

运用分配律。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.8

乘以 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.8.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{y}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.8.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.8.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.9

乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.9.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{y}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.9.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.9.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = (\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.3.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5

乘以 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.6

乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

解题步骤 3.6.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 3.6.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 3.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

解题步骤 3.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

解题步骤 3.6.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 3.6.7

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 3.6.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

解题步骤 3.6.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

解题步骤 3.7

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

分离分数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.3

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.4

分离分数。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.5

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\frac{d y}{d x}}{1} \tan (x) + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.6

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.7

乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + \frac{y}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.8

分离分数。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.9

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + \frac{y}{1} \sec^{2} (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.10

用 $y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.11

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.12

分离分数。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.13

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.14

分离分数。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.15

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.16

用 $y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.8

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.8.2

分离分数。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.8.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.8.4

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.8.5

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\tan^{2} (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 3.9

将 $\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$ 中的因式重新排序。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 7.2

因为 $\sec (x)$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ ，所以 $\sec (x) \tan (x)$ 的积分为 $\sec (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 7.3

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 7.4

将单个积分拆分为多个积分。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 7.5

应用常数不变法则。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 7.6

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \tan (x) + C$

解题步骤 7.7

化简。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$

解题步骤 8

将 $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ 中的每一项除以 $\sec (x) + \tan (x)$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ 中的每一项都除以 $\sec (x) + \tan (x)$ 。

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

约去 $\sec (x) + \tan (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 8.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 8.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\sec (x) - x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 8.3.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 8.3.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x) + C}{\sec (x) + \tan (x)}$

微积分学 示例

微积分学示例