微积分学示例

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = \frac{y}{x}$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{1}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

解题步骤 1.4

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

解题步骤 2.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $y^{2} + \ln (| x |)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

解题步骤 2.2.2

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | x |$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $| x |$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

解题步骤 2.3.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $| x |$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

解题步骤 2.3.2

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{1}{| x |}$ 乘以 $\frac{x}{| x |}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

解题步骤 2.3.4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

解题步骤 2.3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

解题步骤 2.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

解题步骤 2.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

解题步骤 2.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

解题步骤 2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $0$ 和 $\frac{x}{| x^{2} |}$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

解题步骤 2.4.2

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.3

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.3.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.3.3

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.3.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

解题步骤 2.4.3.3.2

约去公因数。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

解题步骤 2.4.3.3.3

重写表达式。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $\frac{1}{x}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

解题步骤 5

对 $M (x, y) = \frac{y}{x}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

由于 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $y$ 移到积分外。

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.3

化简。

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

解题步骤 6

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

解题步骤 8

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

重写。

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

解题步骤 9.1.2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = \frac{y}{x}$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

解题步骤 9.1.2.2

因为 $\frac{1}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 9.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

解题步骤 9.1.2.4

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

解题步骤 9.1.3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

解题步骤 9.1.3.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.2.1

根据加法法则， $y^{2} + \ln (| x |)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

解题步骤 9.1.3.2.2

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

解题步骤 9.1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | x |$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $| x |$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

解题步骤 9.1.3.3.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

解题步骤 9.1.3.3.1.3

使用 $| x |$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

解题步骤 9.1.3.3.2

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

解题步骤 9.1.3.3.3

将 $\frac{1}{| x |}$ 乘以 $\frac{x}{| x |}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

解题步骤 9.1.3.3.4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

解题步骤 9.1.3.3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

解题步骤 9.1.3.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

解题步骤 9.1.3.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

解题步骤 9.1.3.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

解题步骤 9.1.3.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.4.1

将 $0$ 和 $\frac{x}{| x^{2} |}$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

解题步骤 9.1.3.4.2

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

解题步骤 9.1.3.4.3

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.4.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

解题步骤 9.1.3.4.3.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 9.1.3.4.3.3

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.4.3.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

解题步骤 9.1.3.4.3.3.2

约去公因数。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

解题步骤 9.1.3.4.3.3.3

重写表达式。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 9.1.4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.4.1

将 $\frac{1}{x}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $\frac{1}{x}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 9.1.4.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ 是一个恒等式。

解题步骤 9.1.5

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

解题步骤 9.1.6

对 $M (x, y) = \frac{y}{x}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.6.1

由于 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $y$ 移到积分外。

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 9.1.6.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 9.1.6.3

化简。

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

解题步骤 9.1.7

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

解题步骤 9.1.8

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

解题步骤 9.1.9

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.9.1

化简 $\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.9.1.1

约去 $d$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.9.1.1.1

约去公因数。

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

解题步骤 9.1.9.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

解题步骤 9.1.9.1.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $y \ln (| x |) + g y$ 。

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

解题步骤 9.1.9.1.3

从 $y \ln (| x |) + g y$ 中分解出因数 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.9.1.3.1

从 $y \ln (| x |)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

解题步骤 9.1.9.1.3.2

从 $g y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

解题步骤 9.1.9.1.3.3

从 $y \ln (| x |) + y g$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

解题步骤 9.1.9.1.4

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.9.1.4.1

约去公因数。

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

解题步骤 9.1.9.1.4.2

用 $\ln (| x |) + g$ 除以 $1$ 。

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

解题步骤 9.1.10

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

解题步骤 9.1.11

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

解题步骤 9.1.12

约去 $| x |$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.12.1

约去公因数。

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

解题步骤 9.1.12.2

重写表达式。

$\ln (1) = - g + y^{2}$

解题步骤 9.1.13

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$0 = - g + y^{2}$

解题步骤 10

求 $- g + y^{2}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

对 $0 = - g + y^{2}$ 的两边积分。

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

解题步骤 10.2

计算 $\int 0 d y$ 。

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

解题步骤 10.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

解题步骤 10.4

应用常数不变法则。

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

解题步骤 10.5

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 10.6

化简。

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$

微积分学 示例

微积分学示例