微积分学示例

$(y x - y) d y - (y + 1) d x = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

重写。

$- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = - (y + 1)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y + 1)]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- (y + 1)$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y + 1]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 2.5

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + 0)$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y x - y$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x - y]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $y x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [y x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y x$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.3.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 1 = y$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 1 = y$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 5.2

代入 $- 1$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{y + 1}{M}$

解题步骤 5.3

代入 $- (y + 1)$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $- (y + 1)$ 替换 $M$ 。

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

解题步骤 5.3.2

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

约去公因数。

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

解题步骤 5.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3

移动 $\frac{1}{- 1}$ 中分母的负号。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.3

代入 $- (y + 1)$ 替换 $M$ 。

$- 1$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - 1 d y}$ 。

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解题步骤 6.1

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

解题步骤 6.2

化简。

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

解题步骤 7

在 $- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $e^{- y}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- (y + 1)$ 乘以 $e^{- y}$ 。

$- (y + 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$(- y - 1 \cdot 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(- y - 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$(- y e^{- y} - 1 e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

解题步骤 7.5

将 $- 1 e^{- y}$ 重写为 $- e^{- y}$ 。

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

解题步骤 7.6

将 $y x - y$ 乘以 $e^{- y}$ 。

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) e^{- y} d y = 0$

解题步骤 7.7

运用分配律。

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x e^{- y} - y e^{- y}) d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - y e^{- y} - e^{- y} d x$

解题步骤 9

对 $M (x, y) = - y e^{- y} - e^{- y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + C$

解题步骤 10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $(- y e^{- y} - e^{- y}) x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}]$ 。

$x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.2

根据加法法则， $- y e^{- y} - e^{- y}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ 。

$x (\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.3

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y e^{- y}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ 。

$x (- \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = e^{- y}$ 。

$x (- (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = - y$ 。

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解题步骤 12.3.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- y$ 。

$x (- (y (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (- (y (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.5.3

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x (- (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.6

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x (- (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.9

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- e^{- y}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ 。

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - \frac{d}{d y} [e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = - y$ 。

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解题步骤 12.3.10.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- y$ 。

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.10.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.10.3

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.11

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (- (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.14

将 $- 1$ 移到 $e^{- y}$ 的左侧。

$x (- (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.15

将 $- 1 e^{- y}$ 重写为 $- e^{- y}$ 。

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.16

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.17

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} \cdot - 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.18

将 $- 1$ 移到 $e^{- y}$ 的左侧。

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (- 1 \cdot e^{- y})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.19

将 $- 1 e^{- y}$ 重写为 $- e^{- y}$ 。

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - - e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.20

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + 1 e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.3.21

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

运用分配律。

$x (- (y (- e^{- y})) - e^{- y} + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.5.2

运用分配律。

$x (- (y (- e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.5.3

合并项。

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解题步骤 12.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (1 (y (e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.5.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x (y e^{- y}) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.5.3.3

将 $x (- e^{- y})$ 和 $x e^{- y}$ 相加。

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解题步骤 12.5.3.3.1

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$x y e^{- y} - 1 \cdot x e^{- y} + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.5.3.3.2

将 $- 1 \cdot x e^{- y}$ 和 $x e^{- y}$ 相加。

$x y e^{- y} + 0 + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.5.3.4

将 $x y e^{- y}$ 和 $0$ 相加。

$x y e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.5.4

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 12.5.5

将 $\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d y} + x y e^{- y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 13.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 13.1.1

从等式两边同时减去 $x y e^{- y}$ 。

$\frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$

解题步骤 13.1.2

合并 $y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.2.1

按照 $y x e^{- y}$ 和 $- x y e^{- y}$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d y} = e^{- y} x y - y e^{- y} - e^{- y} x y$

解题步骤 13.1.2.2

从 $e^{- y} x y$ 中减去 $e^{- y} x y$ 。

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y} + 0$

解题步骤 13.1.2.3

将 $- y e^{- y}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

解题步骤 14

求 $- y e^{- y}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

解题步骤 14.3

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

解题步骤 14.4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = e^{- y}$ 。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

解题步骤 14.5

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

解题步骤 14.6

化简。

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解题步骤 14.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

解题步骤 14.6.2

将 $\int e^{- y} d y$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

解题步骤 14.7

使 $u = - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 14.7.1

设 $u = - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 14.7.1.1

对 $- y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 14.7.1.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 14.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 14.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 14.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

解题步骤 14.8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

解题步骤 14.9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

解题步骤 14.10

将 $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ 重写为 $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ 。

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

解题步骤 14.11

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

解题步骤 14.12

化简。

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解题步骤 14.12.1

运用分配律。

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

解题步骤 14.12.2

乘以 $- (- y e^{- y})$ 。

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解题步骤 14.12.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

解题步骤 14.12.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

解题步骤 14.12.3

乘以 $- - e^{- y}$ 。

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解题步骤 14.12.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

解题步骤 14.12.3.2

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

解题步骤 16

化简 $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ 。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

解题步骤 16.2

将 $f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = - y x e^{- y} - x e^{- y} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

微积分学 示例

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