微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 1.3

从 $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3 x + 1}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 1.4

将 $y$ 和 $\frac{3 x + 1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x + 1}{x} y = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{3 x + 1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{3 x + 1}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{3 x + 1}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

将分数分解成多个分数。

$e^{\int \frac{3 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

约去公因数。

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.3.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$e^{\int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.4

应用常数不变法则。

$e^{3 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{3 x + C + \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.2.6

化简。

$e^{3 x + \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{3 x + \ln (x)}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{3 x + \ln (x)}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{3 x + \ln (x)}$ 。

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} (\frac{3 x + 1}{x} y) = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{3 x + 1}{x}$ 和 $y$ 。

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} \frac{(3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 3.2.2

组合 $e^{3 x + \ln (x)}$ 和 $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ 。

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 3.3

要将 $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

从 $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ 中分解出因数 $e^{3 x + \ln (x)}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ 中分解出因数 $e^{3 x + \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 3.5.1.2

从 $e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ 中分解出因数 $e^{3 x + \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 3.5.1.3

从 $e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)$ 中分解出因数 $e^{3 x + \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 3.5.2

运用分配律。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + 1 y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 3.5.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 3.6

乘以 $e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$ 。

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解题步骤 3.6.1

组合 $e^{3 x + \ln (x)}$ 和 $\frac{e^{- 3 x}}{x}$ 。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x)} e^{- 3 x}}{x}$

解题步骤 3.6.2

通过指数相加将 $e^{3 x + \ln (x)}$ 乘以 $e^{- 3 x}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x) - 3 x}}{x}$

解题步骤 3.6.2.2

合并 $3 x + \ln (x) - 3 x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.6.2.2.1

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{0 + \ln (x)}}{x}$

解题步骤 3.6.2.2.2

将 $0$ 和 $\ln (x)$ 相加。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{\ln (x)}}{x}$

解题步骤 3.7

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

解题步骤 3.8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.1

约去公因数。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

解题步骤 3.8.2

重写表达式。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$

解题步骤 3.9

将 $\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 3 x y + y)}{x} = 1$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] = 1$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] d x = \int d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{3 x + \ln (x)} y = \int d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$

解题步骤 8

将 $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ 中的每一项除以 $e^{3 x + \ln (x)}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ 中的每一项都除以 $e^{3 x + \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{3 x + \ln (x)}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

微积分学 示例

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