微积分学示例

$f (x) = 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $- 3 x^{6} + 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $- 3 x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5}) + 4 x}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.1.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5}) + x \cdot 4}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.1.3

从 $x (- 3 x^{5}) + x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x \cdot x} d x$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x \cdot x} d x$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$\int 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 e^{6 x} d x + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

解题步骤 5

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int e^{6 x} d x + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

解题步骤 6

使 $u = 6 x$ 。然后使 $d u = 6 d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = 6 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $6 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 6.1.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$5 \int e^{u} \frac{1}{6} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

解题步骤 7

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$5 \int \frac{e^{u}}{6} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{6} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{6} \int e^{u} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

解题步骤 10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

解题步骤 11

用 $- 3 x^{5} + 4$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 11.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 11.2

将被除数中的最高阶项 $- 3 x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 11.3

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

解题步骤 11.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x^{5} + 0$ 中的所有符号

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

解题步骤 11.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

解题步骤 11.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 11.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int - 3 x^{4} + \frac{4}{x} d x$

解题步骤 12

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int - 3 x^{4} d x + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 13

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 \int x^{4} d x + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 14

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 15

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 16

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 17

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 18

化简。

$\frac{5 e^{u}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + 4 \ln (| x |) + C$

解题步骤 19

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5 e^{6 x}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + 4 \ln (| x |) + C$

解题步骤 20

重新排序项。

$\frac{5}{6} e^{6 x} - \frac{3}{5} x^{5} + 4 \ln (| x |) + C$

解题步骤 21

答案是函数 $f (x) = 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{5}{6} e^{6 x} - \frac{3}{5} x^{5} + 4 \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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