微积分学示例

$y = {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 6.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 6.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 6.3

根据加法法则， $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

解题步骤 6.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

解题步骤 6.5

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

解题步骤 6.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

解题步骤 6.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

解题步骤 7

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 8.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 8.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 8.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 8.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

解题步骤 8.6

化简表达式。

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解题步骤 8.6.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0)$

解题步骤 8.6.2

将 $- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3})$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 9.3

合并项。

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解题步骤 9.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 2}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 9.3.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 9.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})$

解题步骤 9.4

重新排序 $\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})$ 的因式。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.5

化简分母。

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解题步骤 9.5.1

要将 $\frac{2}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.5.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x^{2}$ 的形式。

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解题步骤 9.5.2.1

将 $\frac{2}{x}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.5.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.5.3

在公分母上合并分子。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x - 1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.5.4

对 $\frac{2 x - 1}{x^{2}}$ 运用乘积法则。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 9.5.5

化简分母。

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解题步骤 9.5.5.1

将 ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.5.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}}$

解题步骤 9.5.5.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.5.1.2.1

约去公因数。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}}$

解题步骤 9.5.5.1.2.2

重写表达式。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

解题步骤 9.5.5.2

化简。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}}$

解题步骤 9.6

组合 $2$ 和 $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}$ 。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}}$

解题步骤 9.7

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) (1 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 9.8

将 $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.9

将 $- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$ 乘以 $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.10

化简分子。

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解题步骤 9.10.1

要将 $- \frac{2}{x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.10.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x^{3}$ 的形式。

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解题步骤 9.10.2.1

将 $\frac{2}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2} x} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.10.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.10.2.2.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.10.2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2} x^{1}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.10.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2 + 1}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.10.2.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.10.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 2 x + 2}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.10.4

从 $- 2 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 9.10.4.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (- x) + 2}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.10.4.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (- x) + 2 (1)}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.10.4.3

从 $2 (- x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.11

组合 $\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}}$ 和 $x$ 。

$\frac{\frac{2 (- x + 1) x}{x^{3}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.12

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 (- x + 1) x}{x^{3}}$ 。

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解题步骤 9.12.1

从 $2 (- x + 1) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x^{3}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.12.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.12.3

约去公因数。

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.12.4

重写表达式。

$\frac{\frac{2 (- x + 1)}{x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.13

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 (- x + 1)}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.14

合并。

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 1}{x^{2} (2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 9.15

约去公因数。

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 1}{x^{2} (2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 9.16

重写表达式。

$\frac{(- x + 1) \cdot 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 9.17

将 $- x + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x + 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 9.18

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) + 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 9.19

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 9.20

从 $- (x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x - 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 9.21

将 $- (x - 1)$ 重写为 $- 1 (x - 1)$ 。

$\frac{- 1 (x - 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 9.22

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x - 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

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